Tìm các số nguyên \(x,\,\,y\) thỏa mãn:

b) \[\left( {2x - 3} \right)\left( {y + 2} \right) = 12.\]

Hướng dẫn giải

Gọi chiều rộng hình chữ nhật nhỏ là \(b\), chiều dài hình chữ nhật nhỏ là \(a\,\,\left( {x,b > 0,\,\,{\rm{m}}} \right)\).

Chu vi của khu vườn hình chữ nhật là \(\left( {2a + a + 2b} \right) \cdot 2 = 76\)

Hay \(6a + 4b = 76\) (1)

Ta có \(2a = 5b\) nên \(6a = 15b\) (2)

Thay (2) vào (1) ta được \(15b + 4b = 76\) hay \(19b = 76\) nên \(b = 76:19\) suy ra \(b = 4.\)

Suy ra \(a = 10\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Suy ra chiều dài ban đầu của khu vườn là \(2 \cdot 10 = 20{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).

Chiều rộng ban đầu của khu vườn là: \(a + 2b = 10 + 2 \cdot 4 = 18{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).

Diện tích ban đầu của khu vườn là: \(20 \cdot 18 = 360{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Vậy diện tích khu vườn ban đầu là \(360{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}.\)

Hướng dẫn giải

Ta có:

⦁ \[A = 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{119}} + {2^{120}}\]

 \[ = \left( {2 + {2^2} + {2^3} + {2^4}} \right) + \left( {{2^5} + {2^6} + {2^7} + {2^8}} \right) + ... + \left( {{2^{117}} + {2^{118}} + {2^{119}} + {2^{120}}} \right)\]    (30 nhóm)

 \( = 2 \cdot \left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3}} \right) + {2^5} \cdot \left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3}} \right) + ... + {2^{117}} \cdot \left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3}} \right)\)

 \( = \left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3}} \right) \cdot \left( {2 + {2^5} + ... + {2^{117}}} \right)\)

 \( = 15 \cdot \left( {2 + {2^5} + ... + {2^{117}}} \right)\)

 \( = 3 \cdot 5 \cdot \left( {2 + {2^5} + ... + {2^{117}}} \right)\)

Kết quả trên chia hết cho 3 và 5 nên \(A\,\, \vdots \,\,3,\,\,\,A\,\, \vdots \,\,5.\)

⦁ \(A = 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{119}} + {2^{120}} = \left( {2 + {2^2} + {2^3}} \right) + \left( {{2^4} + {2^5} + {2^6}} \right) + ... + \left( {{2^{118}} + {2^{119}} + {2^{120}}} \right)\)       (40 nhóm)

\( = 2 \cdot \left( {1 + 2 + {2^2}} \right) + {2^4} \cdot \left( {1 + 2 + {2^2}} \right) + ... + {2^{118}} \cdot \left( {1 + 2 + {2^2}} \right)\)

\( = \left( {1 + 2 + {2^2}} \right) \cdot \left( {2 + {2^4} + ... + {2^{118}}} \right)\)

\( = 7 \cdot \left( {2 + {2^4} + ... + {2^{118}}} \right)\,\,\, \vdots \,\,\,7.\)

Do đó \(A\,\, \vdots \,\,7.\)