Một quả bóng hình cầu có bán kính 2 m được treo lơ lửng trên một mặt phẳng. Tâm quả bóng cách mặt đất 10 m. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc tọa độ O là hình chiếu của tâm quả cầu trên mặt đất, tia Oz chứa tâm quả cầu, các trục Ox, Oy thuộc mặt đất. Khi đó, phương trình mặt cầu bề mặt của quả bóng là \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\). Tính giá trị của \(a + b + c + d\).

Có \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow i } \right] = \left( {0; - 3; - 4} \right)\).

Mặt phẳng (P) đi qua điểm O và nhận \(\overrightarrow n = \left( {0; - 3; - 4} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(3y + 4z = 0\).

Có \(R = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3.2 + 4.1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 2\).

Trả lời: 2.

Giả sử \(I\left( {a;b;c} \right)\) là tâm của mặt cầu.

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}IM = IN\\IM = IP\\I \in \left( \alpha \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}I{M^2} = I{N^2}\\I{M^2} = I{P^2}\\I \in \left( \alpha \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {2 - a} \right)^2} + {\left( {3 - b} \right)^2} + {\left( {3 - c} \right)^2} = {\left( {2 - a} \right)^2} + {\left( { - 1 - b} \right)^2} + {\left( { - 1 - c} \right)^2}\\{\left( {2 - a} \right)^2} + {\left( {3 - b} \right)^2} + {\left( {3 - c} \right)^2} = {\left( { - 2 - a} \right)^2} + {\left( { - 1 - b} \right)^2} + {\left( {3 - c} \right)^2}\\2a + 3b - c + 2 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + c = 2\\a + b = 1\\2a + 3b - c + 2 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 1\\c = 3\end{array} \right.\) \( \Rightarrow I\left( {2; - 1;3} \right)\).

\(R = IM = \sqrt {{0^2} + {4^2} + {0^2}} = 4\).

Trả lời: 4.