Tập xác định của hàm số \(y = \sin \frac{x}{{2019}}\)là              

Gọi \(J = SO \cap MN\), \(K = SA \cap PJ\) thì \(K = SA \cap \left( {MNP} \right)\).

Vì \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(SB\), \(SD\) nên \(J\) là trung điểm của \(SO\).

Áp dụng định lí Menelaus vào tam giác \(SAO\) với cát tuyến là \(KP\), ta có

\(\frac{{SK}}{{KA}} \cdot \frac{{AP}}{{PO}} \cdot \frac{{OJ}}{{JS}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{SK}}{{KA}} \cdot 3 \cdot 1 = 1 \Leftrightarrow \frac{{KS}}{{KA}} = \frac{1}{3}.\)

Vậy \(\frac{{KS}}{{KA}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 1}\\{n = 3.}\end{array}} \right.\)

Ta có: \(2\sin x = \sqrt 2  \Leftrightarrow \sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{4}\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x = \pi  - \frac{\pi }{4} + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z}).} \right.} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi ;x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\).

Phương trình có nghiệm dương nhỏ nhất bằng \(\frac{\pi }{4}\)

Số nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) là một nghiệm