Cho 3 điểm \(A\left( { - 1\,;\,2;\,1} \right);B\left( {2; - 2;4} \right);C\left( {0; - 4;1} \right)\).

a) Điểm \(D\left( {5; - 6;7} \right)\). Khi đó 3 điểm \(A,B,D\) thẳng hàng.

b) Ba điểm \(A,\,B,C\) không thẳng hàng.

c) Cho \(\overrightarrow u \left( {x - 1;2y + 1;3z - 5} \right)\) thoả mãn \(\overrightarrow u  \bot \overrightarrow {AB} ;\overrightarrow u  \bot \overrightarrow {AC} \). Khi đó \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 2024\)

d) \[cos\left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{37}}{{\sqrt {1258} }}\].

Vì \(\Delta DHN\) đồng dạng với \(\Delta DBA\) nên \(\frac{{DN}}{{DA}} = \frac{{NH}}{{AB}} = x\), với \(0 < x < 1\).

Khi đó \(NH = x.AB\); \(DN = x.DA \Rightarrow AN = \left( {1 - x} \right)DA\).

Ta có \({S_{AMHN}} = AN.NH = x\left( {1 - x} \right).AB.DA = x\left( {1 - x} \right){S_{ABCD}} = 25x\left( {1 - x} \right)\).

Số tiền người chủ cần chuẩn bị để trồng cỏ là \(80.25x\left( {1 - x} \right)\) (nghìn đồng).

Để số tiền lớn nhất thì \(f\left( x \right) = x\left( {1 - x} \right)\) đạt giá trị lớn nhất trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\).

Nhận thấy \(f\left( x \right) = x\left( {1 - x} \right) = x - {x^2} = \frac{1}{4} - {\left( {\frac{1}{2} - x} \right)^2} \le \frac{1}{4},\forall x \in \left( {0;1} \right)\). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x = \frac{1}{2}\).

Vậy số tiền lớn nhất người chủ cần chuẩn bị để trồng cỏ là \(500\) (nghìn đồng).

Do vị trí \(M(a;b;c)\) thỏa mãn \(MA = 3,\,MB = 6,\,MC = 5,\,MD = 13\)

\[\overrightarrow {AM}  = \left( {a - 3;b - 1;c} \right) \Rightarrow {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {c^2} = {3^2}\]

\[ \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - 6a - 2b + 1 = 0\left( 1 \right)\]

\[\overrightarrow {BM}  = \left( {a - 3;b - 6;c - 6} \right) \Rightarrow {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 6} \right)^2} + {\left( {c - 6} \right)^2} = {6^2}\]

\[ \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - 6a - 12b - 12c + 45 = 0\left( 2 \right)\]

\[\overrightarrow {CM}  = \left( {a - 4;b - 6;c - 2} \right) \Rightarrow {\left( {a - 4} \right)^2} + {\left( {b - 6} \right)^2} + {\left( {c - 2} \right)^2} = {5^2}\]

\[ \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - 8a - 12b - 4c + 31 = 0\left( 3 \right)\]

\[\overrightarrow {DM}  = \left( {a - 6;b - 2;c - 14} \right) \Rightarrow {\left( {a - 6} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( {c - 14} \right)^2} = {13^2}\]

\[ \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - 12a - 4b - 28c + 67 = 0\left( 4 \right)\]

Từ \(\left( 1 \right),\,\left( 2 \right),\,\left( 3 \right),\,\left( 4 \right)\) ta có hệ phương trình \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}10b + 12c = 44\\2a + 10b + 4c = 30\\6a + 2b + 28c = 66\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = 2\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow M\left( {1;2;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OM} \left( {1;2;2} \right) \Rightarrow OM = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}}  = 3\].

Vậy khoảng cách từ điểm \(M\) đến điểm \(O\) bằng \(3\).