Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho \(\overrightarrow u = \left( { - 1;\,1;\,0} \right)\), \(\overrightarrow v = \left( {0;\, - 1;\,0} \right)\). Góc giữa hai véc-tơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) là              

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp OABC.O'A'B'C' có \(A\left( {1;1; - 1} \right),B\left( {0;3;0} \right),\overrightarrow {BC'}  = \left( {2; - 6;6} \right)\)Gọi \(H,K\) lần lượt là trọng tâm của tam giác \(OA'O'\) và \(CB'C'\).

a) Tọa độ véc tơ \(\overrightarrow {HK}  = \left( { - 1;2; - 1} \right)\).                                                        

b) Tọa độ véc to \(\overrightarrow {AB'}  = \left( { - 2;3; - 6} \right)\).

c) Tọa độ điểm \(O'\) là \(\left( {3; - 5;5} \right)\).             

d) Tọa độ điểm \(C'\) là \(\left( {2; - 3;6} \right)\)

Trong không gian với một hệ trục toạ độ cho trước (đơn vị đo lấy theo kilomet), ra đa phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với tốc độ và hướng không đổi từ điểm \[A\left( {800\,;\,500\,;7} \right)\] đến điểm \[B\left( {940\,;\,550\,;\,9} \right)\] trong 10 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên tốc độ và hướng bay thì toạ độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là điểm \[C\left( {x\,;\,y\,;z} \right)\]. Tính \[x\, + \,y\, + z\]

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Một tay lái mô tô nặng 180 (lb), di chuyển với vận tốc không đổi 30 dặm/giờ, thực hiện một khúc cua trên đường cho bởi đồ thị \(y = 100{e^{0,01x}},\quad  - 200 \le x \le 50\)

Có thể chứng minh rằng độ lớn của lực pháp tuyến tác dụng lên tay lái mô tô xấp xỉ

\[F(x) = \frac{{10890{e^{0,1x}}}}{{{{\left( {1 + 100{e^{0,2x}}} \right)}^{3/2}}}}\](đơn vị lb)

Hãy tìm lực pháp tuyến lớn nhất tác dụng lên tay lái trong suốt khúc cua (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Dân số của một quốc gia sau \[t\] (năm) bắt đầu từ năm \[2023\] được tính theo công thức \[N\left( t \right) = 100{e^{0,012t}}\] (trong đó \[N\left( t \right)\] được tính bằng triệu người, \[0 \le t \le 50\])

              a) Dân số của quốc gia này ở năm \[2030\] vượt mức \[110\] triệu người.

              b) Dân số của quốc gia này ở năm \[2035\] vượt mức \[115\] triệu người.

              c) Vào năm \[2030\] thì tốc độ tăng dân số là \[1,6\] triệu người/năm.

              d) Vào năm \[2026\] thì tốc độ tăng dân số là \[1,6\] triệu người/năm.

Cho biết bốn đoạn thẳng nối từ một đỉnh của tứ diện đến trọng tâm mặt đối diện luôn cắt nhau tại một điểm gọi là trọng tâm của tứ diện đó. Một phân tử metan \(C{H_4}\) được cấu tạo bởi bốn nguyên tử hydrogen ở các đỉnh của một tứ diện đều và một nguyên tử carbon ở trọng tâm của tứ diện. Góc liên kết là góc tạo bởi liên kết \(H - C - H\) là góc giữa các đường nối nguyên tử carbon với hai trong số các nguyên tử hydrogen. Tính số đo góc liên kết này (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

Có hai xã cùng ở một bên bờ sông. Người ta đo được khoảng cách từ trung tâm \[A,B\] của hai xã đó đến bờ sông lần lượt là \[AA' = 118m\], \[BB' = 487m\] và \[A'B' = 492\,m\] (Hình vẽ). Các kĩ sư muốn xây một trạm cung cấp nước sạch nằm bên bờ sông cho người dân hai xã. Để tiết kiệm chi phí, các kĩ sư cần phải chọn vị trí \[M\] của trạm cung cấp nước sạch đó trên đoạn \[A'B'\] sao cho tổng khoảngcách từ hai vị trí \[A,B\] đến vị trí \[M\] là nhỏ nhất. Tính tổng khoảng cách nhỏ nhất đó (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).