Một đại lý xe máy có kế hoạch nhập về hai dòng xe máy \(A\) và \(B\), giá mỗi chiếc lần lượt là \(40\) triệu đồng và \(60\) triệu đồng với số vốn ban đầu không vượt quá \(4,8\) tỉ đồng. Xe máy \(A\) mang lợi nhuận \(8\) triệu đồng cho mỗi chiếc và xe máy \(B\) mang lợi nhuận \(10\) triệu đồng cho mỗi chiếc. Đại lý ước tính rằng tổng nhu cầu hàng tháng sẽ không vượt quá \(90\) chiếc cả hai loại. Chủ đại lý cần đầu tư kinh doanh \(a\) chiếc loại \(A\) và \(b\) chiếc loại \(B\) để thu được lợi nhuận lớn nhất. Tính \(a \cdot b\).

 Gọi là số tấn trục sắt và đinh ốc sản xuất trong ngày.

Số tiền lãi mỗi ngày: \(L(x,y) = 2x + y\) (triệu đồng).

Số giờ làm việc mỗi ngày của máy cắt: \[3x + y\] (giờ).

Số giờ làm việc mỗi ngày của máy tiện: \(x + y\) (giờ).

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y \le 6\\x + y \le 4\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\,\)

Bài toán trở thành: Trong các nghiệm của hệ bất phương trình \(\left( * \right)\), tìm nghiệm \[({x_0};{y_0})\] sao cho \[L\left( {x;y} \right) = 2x + y\] lớn nhất.

Miền nghiệm của \((*)\) là tứ giác \(OABC\)như hình vẽ với \(O(0;0),A(2;0),B(1;3),C(0;4)\).

Ta có: \(L(0;0) = 0,L(2;0) = 4,L(1,3) = 5,L(0,4) = 4\).

Suy ra: GTLN của \(L\left( {x;y} \right)\) bằng \(5\) khi \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;3} \right)\)

Vậy một ngày xưởng nên sản xuất 1 tấn trục sắt và 3 tấn đinh ốc để tiền lãi cao nhất.

Khi đó \(a = 1,\;b = 3\;\)nên \(a + 3b = 10\).

Ta có: \(\widehat {CIK} = \widehat {CAH} = 30^\circ ;\widehat {BAC} = 60^\circ \); \(\widehat {BIC} = 180^\circ  - \widehat {CIK} = 150^\circ \).

\(\widehat {BCA} = \widehat {BCI} = 180^\circ  - \widehat {CBK} - \widehat {BIC} = 14^\circ 30'\).

Trong tam giác \(ABC\) ta có: \(\frac{{AB}}{{\sin \widehat {BCA}}} = \frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}} \Rightarrow BC = \frac{{AB.\sin \widehat {BAC}}}{{\sin \widehat {BCA}}}\).

Trong tam giác \(BCK\) ta có: \(CK = BC\sin \widehat {CBK} = \frac{{AB.\sin \widehat {BAC}.\sin \widehat {CBK}}}{{\sin \widehat {BCA}}}\).

Vậy đường cao khối chóp là: \(CH = CK + KH = CK + AB = \frac{{AB.\sin \widehat {BAC}.\sin \widehat {CBK}}}{{\sin \widehat {BCA}}} + AB \approx 135m\).