Trong khi khai quật một ngôi mộ cổ, các nhà khảo cổ học đã tìm được một chiếc đĩa cổ hình tròn bị vỡ, các nhà khảo cổ muốn khôi phục lại hình dạng chiếc đĩa này. Để xác định bán kính của chiếc đĩa, các nhà khảo cổ lấy 3 điểm trên chiếc đĩa và tiến hành đo đạc thu được kết quả như hình vẽ (\(AB = 4,3\)cm;\(BC = 3,7\)cm; \(CA = 7,5\) cm). Tính bán kính của chiếc đĩa. (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

 Gọi là số tấn trục sắt và đinh ốc sản xuất trong ngày.

Số tiền lãi mỗi ngày: \(L(x,y) = 2x + y\) (triệu đồng).

Số giờ làm việc mỗi ngày của máy cắt: \[3x + y\] (giờ).

Số giờ làm việc mỗi ngày của máy tiện: \(x + y\) (giờ).

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y \le 6\\x + y \le 4\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\,\)

Bài toán trở thành: Trong các nghiệm của hệ bất phương trình \(\left( * \right)\), tìm nghiệm \[({x_0};{y_0})\] sao cho \[L\left( {x;y} \right) = 2x + y\] lớn nhất.

Miền nghiệm của \((*)\) là tứ giác \(OABC\)như hình vẽ với \(O(0;0),A(2;0),B(1;3),C(0;4)\).

Ta có: \(L(0;0) = 0,L(2;0) = 4,L(1,3) = 5,L(0,4) = 4\).

Suy ra: GTLN của \(L\left( {x;y} \right)\) bằng \(5\) khi \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;3} \right)\)

Vậy một ngày xưởng nên sản xuất 1 tấn trục sắt và 3 tấn đinh ốc để tiền lãi cao nhất.

Khi đó \(a = 1,\;b = 3\;\)nên \(a + 3b = 10\).

Gọi số xe máy loại \(A\) và \(B\) cần đầu tư lần lượt là \(x\) và \(y\) (\(x,y \in \mathbb{N}\)).

Do tổng số vốn ban đầu không vượt quá \(4,8\) tỉ đồng nên ta có \(\)40\cdot 10^6x+60\cdot 10^6y\leq 4{,}8\cdot 10^9\Leftrightarrow 2x+3y\leq 240.\(\)

Vì tổng nhu cầu hàng tháng sẽ không vượt quá \(90\) chiếc cả hai loại nên \(x + y \le 90\).

Lợi nhuận thu được là \(F = 8 \cdot {10^6}x + 10 \cdot {10^6}y = 2 \cdot {10^6} \cdot (4x + 5y)\).

Ta có hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y \le 90}\\{2x + 3y \le 240}\\{x \ge 0}\\{y \ge 0.}\end{array}} \right.\)

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác \(OABC\) kể cả các cạnh của tứ giác.

Tại \(O\) ta có \(F = 2 \cdot {10^6}(4 \cdot 0 + 5 \cdot 0) = 0\).

Tại \(A(90;0)\) ta có \(F = 2 \cdot {10^6}(4 \cdot 90 + 5 \cdot 0) = 720 \cdot {10^6}\).

Tại \(B(30;60)\) ta có \(F = 2 \cdot {10^6}(4 \cdot 30 + 5 \cdot 60) = 840 \cdot {10^6}\).

Tại \(C(0;80)\) ta có \(F = 2 \cdot {10^6}(4 \cdot 0 + 5 \cdot 80) = 800 \cdot {10^6}\).

\(F\)đạt giá trị lớn nhất khi \(x = 30\) và \(y = 60\).

Vậy cần đầu tư kinh doanh loại \(A\) là \(30\) chiếc và loại \(B\) là \(60\) chiếc để thu được lợi nhuận lớn nhất.

Suy ra \(a = 30\) và \(b = 60\), \(a \cdot b = 1800\).