Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C', M là trung điểm của \(BB'\). Đặt \(\overrightarrow {CA} = \overrightarrow a \), \(\overrightarrow {CB} = \overrightarrow b \), \[\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow c \] (Tham khảo hình vẽ).

Khẳng định nào sau đây đúng?              

Đáp án:

$\begin{array}{l}\overrightarrow{F_1}=\overrightarrow{a};\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{b};\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{c}\text{ thì }\left|\overrightarrow{a}\right|=3,\left|\overrightarrow{b}\right|=6,\left|\overrightarrow{c}\right|=9,(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b})=(\overrightarrow{b};\overrightarrow{c})=(\overrightarrow{c};\overrightarrow{a})={60}^{°}\\ \text{Ta có: }\\ \overrightarrow{F_{hl}}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\Rightarrow {\left|\overrightarrow{F_{hl}}\right|}^2==|\overrightarrow{a}{|}^2+|\overrightarrow{b}{|}^2+|\overrightarrow{c}{|}^2+2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}+2\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}\\ =9+36+81+18+54+27=225\Rightarrow \left|\overrightarrow{F_{hl}}\right|=25( N)\end{array}$

Ta có mặt cắt qua trục hình nón như hình vẽ. Đặt \(x\) là bán kính đáy hình trụ, \(h\) là chiều cao của hình trụ.

Ta có hai tam giác \(SAI\) và \(SA'I'\) đồng dạng.

\( \Rightarrow \frac{{SI}}{{SI'}} = \frac{{AI}}{{A'I'}} \Leftrightarrow \frac{6}{{6 - h}} = \frac{2}{x} \Rightarrow h = 6 - 3x\), với \(0 < x < 2\)Sai.

Ta có:

Chiều cao của khối trụ tính theo bán kính đáy hình trụ là \(h =  - 3x + 6\) với \(0 < x < 2\).

Suy ra: Thể tích của khối trụ là: \[V = \pi .{x^2}.h = \pi .{x^2}.\left( {6 - 3x} \right) = \pi \left( { - 3{x^3} + 6{x^2}} \right)\], với \(0 < x < 2\).Đúng.

Bác thợ mộc chế tác khúc gỗ đó thành hình trụ có bán kính đáy bằng chiều cao

Suy ra: \(x = 6 - 3x \Rightarrow x = \frac{3}{2} \Rightarrow V = \pi  \cdot \left[ { - 3{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^3} + 6{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}} \right] = \), khi đó thể tích của khối trụ là \[V = \pi  \cdot \left[ { - 3{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^3} + 6{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}} \right] = \frac{{27}}{8}\pi \left( {{m^3}} \right).\]Đúng.

Thể tích của khối trụ là: \[V = \pi .{x^2}.h = \pi .{x^2}.\left( {6 - 3x} \right) = \pi \left( { - 3{x^3} + 6{x^2}} \right)\], với \(0 < x < 2\).

Xét hàm số \[V = \pi \left( { - 3{x^3} + 6{x^2}} \right)\], với \(0 < x < 2\).

\[V' = \pi \left( { - 9{x^2} + 12x} \right)\].

\[V' = 0 \Leftrightarrow \pi \left( { - 9{x^2} + 12x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0{\rm{ }}\,\left( l \right)\\x = \frac{4}{3}{\rm{ }}\left( n \right)\end{array} \right.\].

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \({V_{\max }} = \frac{{32\pi }}{9}\left( {{m^3}} \right)\) khi \(x = \frac{4}{3}\).