PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Một thiết bị thăm dò đáy biển như hình vẽ được đẩy bởi một lực \(\vec f = \left( {5;4; - 2} \right)\) (đơn vị: N) giúp thiết bị thực hiện độ dời \(\vec a = \left( {70;20; - 40} \right)\) (đơn vị: m). Tính công sinh bởi lực \(\vec f\).

Đáp án:

$\begin{array}{l}\overrightarrow{F_1}=\overrightarrow{a};\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{b};\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{c}\text{ thì }\left|\overrightarrow{a}\right|=3,\left|\overrightarrow{b}\right|=6,\left|\overrightarrow{c}\right|=9,(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b})=(\overrightarrow{b};\overrightarrow{c})=(\overrightarrow{c};\overrightarrow{a})={60}^{°}\\ \text{Ta có: }\\ \overrightarrow{F_{hl}}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\Rightarrow {\left|\overrightarrow{F_{hl}}\right|}^2==|\overrightarrow{a}{|}^2+|\overrightarrow{b}{|}^2+|\overrightarrow{c}{|}^2+2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}+2\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}\\ =9+36+81+18+54+27=225\Rightarrow \left|\overrightarrow{F_{hl}}\right|=25( N)\end{array}$

Ta có mặt cắt qua trục hình nón như hình vẽ. Đặt \(x\) là bán kính đáy hình trụ, \(h\) là chiều cao của hình trụ.

Ta có hai tam giác \(SAI\) và \(SA'I'\) đồng dạng.

\( \Rightarrow \frac{{SI}}{{SI'}} = \frac{{AI}}{{A'I'}} \Leftrightarrow \frac{6}{{6 - h}} = \frac{2}{x} \Rightarrow h = 6 - 3x\), với \(0 < x < 2\)Sai.

Ta có:

Chiều cao của khối trụ tính theo bán kính đáy hình trụ là \(h =  - 3x + 6\) với \(0 < x < 2\).

Suy ra: Thể tích của khối trụ là: \[V = \pi .{x^2}.h = \pi .{x^2}.\left( {6 - 3x} \right) = \pi \left( { - 3{x^3} + 6{x^2}} \right)\], với \(0 < x < 2\).Đúng.

Bác thợ mộc chế tác khúc gỗ đó thành hình trụ có bán kính đáy bằng chiều cao

Suy ra: \(x = 6 - 3x \Rightarrow x = \frac{3}{2} \Rightarrow V = \pi  \cdot \left[ { - 3{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^3} + 6{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}} \right] = \), khi đó thể tích của khối trụ là \[V = \pi  \cdot \left[ { - 3{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^3} + 6{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}} \right] = \frac{{27}}{8}\pi \left( {{m^3}} \right).\]Đúng.

Thể tích của khối trụ là: \[V = \pi .{x^2}.h = \pi .{x^2}.\left( {6 - 3x} \right) = \pi \left( { - 3{x^3} + 6{x^2}} \right)\], với \(0 < x < 2\).

Xét hàm số \[V = \pi \left( { - 3{x^3} + 6{x^2}} \right)\], với \(0 < x < 2\).

\[V' = \pi \left( { - 9{x^2} + 12x} \right)\].

\[V' = 0 \Leftrightarrow \pi \left( { - 9{x^2} + 12x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0{\rm{ }}\,\left( l \right)\\x = \frac{4}{3}{\rm{ }}\left( n \right)\end{array} \right.\].

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \({V_{\max }} = \frac{{32\pi }}{9}\left( {{m^3}} \right)\) khi \(x = \frac{4}{3}\).