Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {m + 1} \right)x - 1\) (\(m\) là tham số). Khi đó:

a) Với \(m =  - 1\) thì hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)

b) Với \(m =  - 1\) thì đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu là \(\left( {0;2} \right)\)

c) Ta có \(y' = {x^2} - 2mx + m + 1\).

d) Để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {m + 1} \right)x - 1\) đạt cực đại tại \(x =  - 2\) thì \(m = k\), khi đó phương trình \({2^{x + k}} = 4\) có nghiệm là \(x = 3\)

Để tính góc của mái nhà, ta tính số đo của góc nhị diện có cạnh là đường thẳng \(FG\), hai mặt lần lượt là \(\left( {FGQP} \right)\) và \(\left( {FGHE} \right)\).

Do mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( {FGQP} \right)\) và \(\left( {FGHE} \right)\), \(FP = \left( {Oxy} \right) \cap \left( {FGQP} \right)\), \(FE = \left( {Oxz} \right) \cap \left( {FGEH} \right)\) nên \(\widehat {PFE}\) là góc phẳng nhị diện cần tìm.

Tứ giác \[OAFE\] là hình chữ nhật nên \({x_F} = {x_A} = 4\), \({z_F} = {z_E} = 3\).

Do \(F\) nằm trên mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) nên tọa độ điểm \(F\left( {4;0;3} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {FP}  = \left( { - 2;0;1} \right)\), \(\overrightarrow {FE}  = \left( { - 4;0;0} \right)\) suy ra:

\(\cos \widehat {PFE} = \cos \left( {\overrightarrow {FP} ;\overrightarrow {FE} } \right) = \frac{{\overrightarrow {FP} .\overrightarrow {FE} }}{{FP.FE}} = \frac{{\left( { - 2} \right)\left( { - 4} \right) + 0 \times 0 + 1 \times 0}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {0^2} + {1^2}} \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).

Do đó, \(\widehat {PFE} \approx 26,6^\circ \). Vậy góc dốc mái nhà khoảng \(26,6^\circ \).

 Đúng: Khi \(m = 0\) thì đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là \(y =  - x + 1\)

 Đúng: Khi \(m = 0:y = \frac{{ - {x^2} + 2x - 5}}{{x - 1}} =  - x + 1 - \frac{4}{{x - 1}}\)

Tâp xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Đạo hàm \(y' = \frac{{ - {x^2} + 2x + 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow  - {x^2} + 2x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 \Rightarrow y = 4}\\{x = 3 \Rightarrow y =  - 4}\end{array}} \right.\)

là đường tiệm cận đứng; \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y =  - x + 1:y =  - x + 1\) là tiệm cận xiên

Bảng biến thiên:

\(x = 0 \Rightarrow y = 5;\,\,y = 0 \Rightarrow  - {x^2} + 2x - 5 = 0{\rm{ (v\^o  nghiem) }}\)

Đồ thị hàm số không cắt \(Ox\).

 Sai: \(y = \frac{{ - {x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x - m - 5}}{{x - 1}}\); \(y' = \frac{{ - {x^2} + 2x - 2m - 2 + m + 5}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} + 2x - m + 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

Hàm số \[y\] có cực đại cực tiểu khi phương trình \( - {x^2} + 2x - m + 3 = 0\) có hai nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow \Delta ' = 1 - m + 3 = 4 - m > 0 \Leftrightarrow m < 4\)

Nghiệm \(x = 1\) không phải là nghiệm của phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow  - 1 + 2 - m + 3 \ne 0\)\( \Leftrightarrow m \ne 4\)

Điều kiện sau cùng: \(m < 4\)

 Đúng: \({x_M} > 1 \Rightarrow M\) thuộc nhánh bên phải của \[\left( C \right)\] nên \(I\left( {1\,;\,0} \right)\)

Toạ độ điểm \(M\left( {m\,;\, - m + 1 - \frac{4}{{m - 1}}} \right)\); \[I{M^2} = {\left( {m - 1} \right)^2} + \left[ {{{\left( { - m + 1} \right)}^2} + \frac{{16}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}} + 8} \right]\]

\[ = 2{\left( {m - 1} \right)^2} + \frac{{16}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}} + 8 \ge 2\sqrt 2 \left( {m - 1} \right).\frac{4}{{\left( {m - 1} \right)}} + 8 \Rightarrow I{M^2} \ge 8\left( {\sqrt 2  + 1} \right) \Rightarrow IM \ge \sqrt {8\left( {\sqrt 2  + 1} \right)} \]

\[IM\]ngắn nhất khi \(2{\left( {m - 1} \right)^2} = \frac{{16}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}} \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^4} = 8 \Leftrightarrow m = 1 + \sqrt[4]{8}\)\( \Rightarrow {y_M} =  - \sqrt[4]{8} - \frac{4}{{\sqrt[4]{8}}} <  - 4\)