Từ một điểm \[A\] nằm bên ngoài đường tròn \[\left( O \right)\], kẻ các tiếp tuyến \[AB,\,AC\] với đường tròn (\[B,\,C\] là các tiếp điểm).

1) Chứng minh rằng \[ABOC\] là tứ giác nội tiếp.

2) Cho bán kính đường tròn \[\left( O \right)\] bằng 3 cm, độ dài đoạn thẳng \[OA\] bằng 5 cm. Tính độ dài đoạn thẳng \[BC\].

3) Gọi \[\left( K \right)\] là đường tròn qua \[A\] và tiếp xúc với đường thẳng x\[BC\] tại xxxxxxxx\[C\]. Đường tròn xx\[\left( K \right)\] và đường tròn xxx\[\left( O \right)\] cắt nhau tại điểm thứ hai là xxxxx\[M\]. Chứng minh rằng đường thẳng xx\[BM\] đi qua trung điểm của đoạn thẳng xxxx\[AC\].

Điều kiện: xxxx\[x \ne 0\].

Đặt xxx\[\frac{1}{x} = u\] xxxxx\[\left( {u \ne 0} \right)\], khi đó hệ phương trình đã cho trở thành

xxxx\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{2}u - y = 6\\u + 2y =  - 4\end{array} \right.\]xxxxxxxxx\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3u - 2y = 12\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\3u + 6y =  - 12\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]

Lấy (2) trừ vế theo vế cho (1) ta được: xxx\[8y =  - 24 \Leftrightarrow y =  - 3\].

Thay xxxxxx\[y =  - 3\] vào (1) suy ra xxxx\[u = 2\] (t/m), do đó xxxx\[\frac{1}{x} = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\] (t/m).

Vậy hệ có nghiệm duy nhất xxxxxx\[\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\y =- 3\end{array} \right.\].

1) Thay xxx\[m = 1\] vào phương trình đã cho ta được: xxxxx\[{x^2} - 2 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 2 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 2 \].

Vậy khi xxx\[m = 1\], phương trình đã cho có hai nghiệm xxxx\[x = \sqrt 2 \] và xxx\[x =  - \sqrt 2 \].

2) Có xxxxxxx\[\Delta  = 4{\left( {m - 1} \right)^2} - 4.\left( { - 2m} \right) = 4{m^2} - 8m + 4 + 8m = 4{m^2} + 4 > 0\] với mọi xxx\[m\] nên phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi xx\[m\].

Vì xxx\[{x_1}\] và xxxx\[{x_2}\] là hai nghiệm của phương trình đã cho nên theo định lí Vi-et ta có:

 xxxx\[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = 2m - 2\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} =  - 2m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]

Theo bài ta có xxxx\[x_1^2 + {x_1} - {x_2} = 5 - 2m\] (3).

Từ (1) và (3) ta có hệ (I): xxxxxxxx\[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m - 2\\{x_1}^2 + {x_1} - {x_2} = 5 - 2m\end{array} \right.\]

xxxxx\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 2m - 2 - {x_1}\\{x_1}^2 + {x_1} - \left( {2m - 2 - {x_1}} \right) = 5 - 2m\end{array} \right.\]

xxx\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 2m - 2 - {x_1}\\{x_1}^2 + 2{x_1} = 3\end{array} \right.\]

Từ hệ (I) có PT : xxx\[x_1^2 + 2{x_1} - 3 = 0\]. Từ đó suy ra xxx\[\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 1\\{x_1} =  - 3\end{array} \right.\]

+ Với xxxx\[{x_1} = 1\] thì xxx\[{x_2} = 2m - 2 - {x_1} = 2m - 2 - 1 = 2m - 3\].

Thay vào (2) ta được: xxxxxxxx\[1.\left( {2m - 3} \right) =  - 2m \Leftrightarrow 4m = 3 \Leftrightarrow m = \frac{3}{4}\].

+ Với xxxxxx\[{x_1} =  - 3\], tương tự như trên ta có xxx\[m =  - \frac{3}{4}\].

Vậy khi xxx\[m =  \pm \frac{3}{4}\] thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.