Cho \[a \ge 0,\,a \ne 4\]. Chứng minh \[\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a + 2}} + \frac{{2\left( {\sqrt a - 2} \right)}}{{a - 4}} = 1\].
Cho \[a \ge 0,\,a \ne 4\]. Chứng minh \[\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a + 2}} + \frac{{2\left( {\sqrt a - 2} \right)}}{{a - 4}} = 1\].
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Với \[a \ge 0,\,a \ne 4\], ta có:
\[VT = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a + 2}} + \frac{{2\left( {\sqrt a - 2} \right)}}{{a - 4}}\]
\[ = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a + 2}} + \frac{{2\left( {\sqrt a - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt a - 2} \right)\left( {\sqrt a + 2} \right)}}\]
\[ = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a + 2}} + \frac{2}{{\sqrt a + 2}}\]
\[ = \frac{{\sqrt a + 2}}{{\sqrt a + 2}} = 1 = VP\].
Vậy đẳng thức đã được chứng minh.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Xét tứ giác \[AHKM\] ta có: \[\widehat {AHM} = \widehat {AKM} = 90^\circ \] (gt).
Mà hai góc này là góc kề cạnh \[HK\] và cùng nhìn đoạn \[AM\].
Do đó, \[AHKM\] là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết).
Hay bốn điểm \[A,\,H,\,K,\,M\] cùng nằm trên một đường tròn (đpcm).
b) Ta có:
Mà .
Mà \[\widehat {ABH} + \widehat {BAH} = 90^\circ \] (tam giác \[ABH\] vuông tại \[H\])
\[ \Rightarrow \widehat {AMK} = \widehat {BAH}\]
Xét tam giác \[AMK\] và tam giác \[BAH\] có:
\[\widehat {AKM} = \widehat {BHA} = 90^\circ \]
\[\widehat {AMK} = \widehat {BAH}\] (cmt)
Do đó, (g.g).
\[ \Rightarrow \frac{{AK}}{{HB}} = \frac{{MK}}{{AH}} \Rightarrow AH.AK = HB.MK\].
c) Kéo dài \[HK\] cắt \[AB\] tại \[E\].
Ta có \[\widehat {MAK} = \widehat {MHK}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \[MK\]).
Lại có \[\widehat {MHK} = \widehat {EHB}\] (đối đỉnh)
\[ \Rightarrow \widehat {MAK} = \widehat {EHB}\].
Do (cmt) \[ \Rightarrow \widehat {MAK} = \widehat {ABH} = \widehat {EBH}\].
\[ \Rightarrow \widehat {EHB} = \widehat {EBH}\] \[ \Rightarrow \Delta EHB\] cân tại \[E\].
\[ \Rightarrow EH = EB\] (1).
Ta có \[\widehat {EBH} + \widehat {EAH} = 90^\circ \] (Tam giác \[ABH\] vuông tại \[H\]).
Mà \[\widehat {EHB} + \widehat {EHA} = \widehat {AHB} = 90^\circ \].
Do đó, \[\widehat {EAH} = \widehat {EHA}\] \[ \Rightarrow \Delta EHA\] cân tại \[E\].
\[ \Rightarrow EA = EH\] (2).
Từ (1) và (2) \[ \Rightarrow EA = EB\] \[ \Rightarrow E\] là trung điểm của \[AB\].
Do \[A,\,\,B\] cố định nên \[E\] cố định.
Vậy khi \[M\] di chuyển trên cung nhỏ \[AC\] thì \[HK\] luôn đi qua trung điểm của \[AB\] (đpcm).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \[{x_1},\,{x_2} \Leftrightarrow \Delta ' > 0\]
\[ \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {4m - 11} \right) > 0\]
\[ \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 - 4m + 11 > 0\]
\[ \Leftrightarrow {m^2} - 6m + 12 > 0\]
\[ \Leftrightarrow {m^2} - 6m + 9 + 3 > 0\]
\[ \Leftrightarrow {\left( {m - 3} \right)^2} + 3 > 0\]
Vì \[{\left( {m - 3} \right)^2} \ge 0\,\,\forall m\] nên \[{\left( {m - 3} \right)^2} + 3 > 0\,\,\forall m \Rightarrow \Delta ' > 0\,\,\forall m\].
Hay phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt \[{x_1},\,{x_2}\] với mọi \[m\].
Áp dụng hệ thức Vi – ét ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2\left( {m - 1} \right)\\{x_1}{x_2} = 4m - 11\end{array} \right.\].
Vì \[{x_1},\,{x_2}\] là nghiệm của phương trình \[{x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + 4m - 11 = 0\] nên ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}x_1^2 + 2\left( {m - 1} \right){x_1} + 4m - 11 = 0\\x_2^2 + 2\left( {m - 1} \right){x_2} + 4m - 11 = 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x_1^2 + 4\left( {m - 1} \right){x_1} + 8m - 22 = 0\\x_2^2 + 2\left( {m - 1} \right){x_2} + 4m - 11 = 0\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x_1^2 = - 4\left( {m - 1} \right){x_1} - 8m + 22\\x_2^2 = - 2\left( {m - 1} \right){x_2} - 4m + 11\end{array} \right.\].
Ta có: \[2{\left( {{x_1} - 1} \right)^2} + \left( {6 - {x_2}} \right)\left( {{x_1}{x_2} + 11} \right) = 72\]
\[ \Leftrightarrow 2x_1^2 - 4{x_1} + 2 + 6{x_1}{x_2} + 66 - {x_1}x_2^2 - 11{x_2} = 72\]
\[ \Leftrightarrow - 4\left( {m - 1} \right){x_1} - 8m + 22 - 4{x_1} + 6{x_1}{x_2} - {x_1}\left[ { - 2\left( {m - 1} \right){x_2} - 4m + 11} \right] - 11{x_2} = 4\]
\[ \Leftrightarrow - 4m{x_1} + 4{x_1} - 8m - 4{x_1} + 6{x_1}{x_2} + 2\left( {m - 1} \right){x_1}{x_2} + 4m{x_1} - 11{x_1} - 11{x_2} = - 18\]
\[ \Leftrightarrow \left( {2m + 4} \right){x_1}{x_2} - 11\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 8m - 18\]
\[ \Leftrightarrow \left( {2m + 4} \right)\left( {4m - 11} \right) - 11.\left[ { - 2\left( {m - 1} \right)} \right] = 8m - 18\]
\[ \Leftrightarrow 8{m^2} - 22m + 16m - 44 + 22m - 22 = 8m - 18\]
\[ \Leftrightarrow 8{m^2} + 8m - 48 = 0\]
\[ \Leftrightarrow {m^2} + m - 6 = 0\]
\[ \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 3m - 6 = 0\]
\[ \Leftrightarrow m\left( {m - 2} \right) + 3\left( {m - 2} \right) = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {m + 3} \right) = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - 3\end{array} \right.\].
Vậy \[m = - 3\] hoặc \[m = 2\] thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập