Vẽ đồ thị của các hàm số \[y = - \frac{1}{2}{x^2}\] và \[y = x - 4\] trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Gọi \[A\] và \[B\] là các giao điểm của đồ thị hai hàm số trên. Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \[OAB\], với \[O\] là gốc tọa độ (đơn vị đo trên các trục tọa độ là centimét).
Vẽ đồ thị của các hàm số \[y = - \frac{1}{2}{x^2}\] và \[y = x - 4\] trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Gọi \[A\] và \[B\] là các giao điểm của đồ thị hai hàm số trên. Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \[OAB\], với \[O\] là gốc tọa độ (đơn vị đo trên các trục tọa độ là centimét).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
+) Vẽ đồ thị hàm số \[y = - \frac{1}{2}{x^2}\].
Bảng giá trị:
|
\[x\] |
– 4 |
– 2 |
0 |
2 |
4 |
|
\[y\] |
– 8 |
– 2 |
0 |
– 2 |
– 8 |
Khi đó đồ thị hàm số \[y = - \frac{1}{2}{x^2}\] có hình dạng là một parabol và đi qua các điểm (– 4; – 8), (– 2; – 2), (0; 0), (2; – 2), (4; – 8).
+) Vẽ đồ thị hàm số \[y = x - 4\].
Với \[x = 0\] thì \[y = - 4\], với \[x = 4\] thì \[y = 0\].
Khi đó đồ thị hàm số \[y = x - 4\] là một đường thẳng và đi qua các điểm (0; – 4), (4; 0).
Vẽ hai đồ thị lên cùng một hệ trục tọa độ ta được:
+) Phương trình hoành độ giao điểm của hàm số \[y = - \frac{1}{2}{x^2}\] và \[y = x - 4\] là
\[ - \frac{1}{2}{x^2} = x - 4 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 8 = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 4\end{array} \right.\]
Với \[x = 2 \Rightarrow y = - 2 \Rightarrow A\left( {2;\, - 2} \right)\].
Với \[x = - 4 \Rightarrow y = - 8 \Rightarrow B\left( { - 4;\, - 8} \right)\].
Gọi các điểm \[C\left( { - 4;\,0} \right),\,\,D\left( {2;\,0} \right),\,E\left( {4;\,0} \right)\].
Xét tam giác \[OAE\] ta có: \[OD = DE = \frac{1}{2}OE = 2\,\,{\rm{cm}}\], \[AD = 2\,{\rm{cm}}\] nên tam giác \[OAE\] vuông tại \[A\].
Khi đó ta có: \[OA \bot AB\] nên tam giác \[OAB\] vuông tại \[A\].
Ta có tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[OAB\] là trung điểm của cạnh huyền \[OB\] và bán
kính của đường tròn bằng \[\frac{1}{2}OB\].
Ta có: Áp dụng định lí Pi-ta-go trong tam giác vuông \[OBC\] có:
\[O{B^2} = O{C^2} + B{C^2} = {4^2} + {8^2} = 80\]
\[ \Rightarrow OB = \sqrt {80} = 4\sqrt 5 \,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\].
Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \[OAB\] là \[\frac{1}{2}OB = \frac{1}{2}.4\sqrt 5 = 2\sqrt 5 \,\,\left( {cm} \right)\].
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Xét tứ giác \[AHKM\] ta có: \[\widehat {AHM} = \widehat {AKM} = 90^\circ \] (gt).
Mà hai góc này là góc kề cạnh \[HK\] và cùng nhìn đoạn \[AM\].
Do đó, \[AHKM\] là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết).
Hay bốn điểm \[A,\,H,\,K,\,M\] cùng nằm trên một đường tròn (đpcm).
b) Ta có:
Mà .
Mà \[\widehat {ABH} + \widehat {BAH} = 90^\circ \] (tam giác \[ABH\] vuông tại \[H\])
\[ \Rightarrow \widehat {AMK} = \widehat {BAH}\]
Xét tam giác \[AMK\] và tam giác \[BAH\] có:
\[\widehat {AKM} = \widehat {BHA} = 90^\circ \]
\[\widehat {AMK} = \widehat {BAH}\] (cmt)
Do đó, (g.g).
\[ \Rightarrow \frac{{AK}}{{HB}} = \frac{{MK}}{{AH}} \Rightarrow AH.AK = HB.MK\].
c) Kéo dài \[HK\] cắt \[AB\] tại \[E\].
Ta có \[\widehat {MAK} = \widehat {MHK}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \[MK\]).
Lại có \[\widehat {MHK} = \widehat {EHB}\] (đối đỉnh)
\[ \Rightarrow \widehat {MAK} = \widehat {EHB}\].
Do (cmt) \[ \Rightarrow \widehat {MAK} = \widehat {ABH} = \widehat {EBH}\].
\[ \Rightarrow \widehat {EHB} = \widehat {EBH}\] \[ \Rightarrow \Delta EHB\] cân tại \[E\].
\[ \Rightarrow EH = EB\] (1).
Ta có \[\widehat {EBH} + \widehat {EAH} = 90^\circ \] (Tam giác \[ABH\] vuông tại \[H\]).
Mà \[\widehat {EHB} + \widehat {EHA} = \widehat {AHB} = 90^\circ \].
Do đó, \[\widehat {EAH} = \widehat {EHA}\] \[ \Rightarrow \Delta EHA\] cân tại \[E\].
\[ \Rightarrow EA = EH\] (2).
Từ (1) và (2) \[ \Rightarrow EA = EB\] \[ \Rightarrow E\] là trung điểm của \[AB\].
Do \[A,\,\,B\] cố định nên \[E\] cố định.
Vậy khi \[M\] di chuyển trên cung nhỏ \[AC\] thì \[HK\] luôn đi qua trung điểm của \[AB\] (đpcm).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \[{x_1},\,{x_2} \Leftrightarrow \Delta ' > 0\]
\[ \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {4m - 11} \right) > 0\]
\[ \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 - 4m + 11 > 0\]
\[ \Leftrightarrow {m^2} - 6m + 12 > 0\]
\[ \Leftrightarrow {m^2} - 6m + 9 + 3 > 0\]
\[ \Leftrightarrow {\left( {m - 3} \right)^2} + 3 > 0\]
Vì \[{\left( {m - 3} \right)^2} \ge 0\,\,\forall m\] nên \[{\left( {m - 3} \right)^2} + 3 > 0\,\,\forall m \Rightarrow \Delta ' > 0\,\,\forall m\].
Hay phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt \[{x_1},\,{x_2}\] với mọi \[m\].
Áp dụng hệ thức Vi – ét ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2\left( {m - 1} \right)\\{x_1}{x_2} = 4m - 11\end{array} \right.\].
Vì \[{x_1},\,{x_2}\] là nghiệm của phương trình \[{x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + 4m - 11 = 0\] nên ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}x_1^2 + 2\left( {m - 1} \right){x_1} + 4m - 11 = 0\\x_2^2 + 2\left( {m - 1} \right){x_2} + 4m - 11 = 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x_1^2 + 4\left( {m - 1} \right){x_1} + 8m - 22 = 0\\x_2^2 + 2\left( {m - 1} \right){x_2} + 4m - 11 = 0\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x_1^2 = - 4\left( {m - 1} \right){x_1} - 8m + 22\\x_2^2 = - 2\left( {m - 1} \right){x_2} - 4m + 11\end{array} \right.\].
Ta có: \[2{\left( {{x_1} - 1} \right)^2} + \left( {6 - {x_2}} \right)\left( {{x_1}{x_2} + 11} \right) = 72\]
\[ \Leftrightarrow 2x_1^2 - 4{x_1} + 2 + 6{x_1}{x_2} + 66 - {x_1}x_2^2 - 11{x_2} = 72\]
\[ \Leftrightarrow - 4\left( {m - 1} \right){x_1} - 8m + 22 - 4{x_1} + 6{x_1}{x_2} - {x_1}\left[ { - 2\left( {m - 1} \right){x_2} - 4m + 11} \right] - 11{x_2} = 4\]
\[ \Leftrightarrow - 4m{x_1} + 4{x_1} - 8m - 4{x_1} + 6{x_1}{x_2} + 2\left( {m - 1} \right){x_1}{x_2} + 4m{x_1} - 11{x_1} - 11{x_2} = - 18\]
\[ \Leftrightarrow \left( {2m + 4} \right){x_1}{x_2} - 11\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 8m - 18\]
\[ \Leftrightarrow \left( {2m + 4} \right)\left( {4m - 11} \right) - 11.\left[ { - 2\left( {m - 1} \right)} \right] = 8m - 18\]
\[ \Leftrightarrow 8{m^2} - 22m + 16m - 44 + 22m - 22 = 8m - 18\]
\[ \Leftrightarrow 8{m^2} + 8m - 48 = 0\]
\[ \Leftrightarrow {m^2} + m - 6 = 0\]
\[ \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 3m - 6 = 0\]
\[ \Leftrightarrow m\left( {m - 2} \right) + 3\left( {m - 2} \right) = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {m + 3} \right) = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - 3\end{array} \right.\].
Vậy \[m = - 3\] hoặc \[m = 2\] thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập