Cho tam giác nhọn \[ABC\] nội tiếp trong đường tròn tâm \[O\] có \[AB < AC\]. Trên cung nhỏ  lấy điểm \[M\] khác \[A\] thỏa mãn \[MA < MC\]. Vẽ đường kính \[MN\] của đường tròn \[\left( O \right)\] và gọi \[H,\,K\] lần lượt là hình chiếu vuông góc của \[A\] trên \[MB,\,MN\].

Chứng minh rằng:

a) Bốn điểm \[A,\,H,\,K,\,M\] cùng nằm trên một đường tròn.

b) \[AH.AK = HB.MK\].

c) Khi điểm \[M\] di động trên cung nhỏ  thì đường thẳng \[HK\] luôn đi qua một điểm cố định.

\[\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 14\\2x + 3y = 24\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 14 - 2y\\2x + 3y = 24\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 14 - 2y\\2\left( {14 - 2y} \right) + 3y = 24\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 14 - 2y\\28 - y = 24\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 14 - 2y\\y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = 4\end{array} \right.\].

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \[\left( {x;\,y} \right) = \left( {6;\,4} \right)\].

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \[{x_1},\,{x_2} \Leftrightarrow \Delta ' > 0\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {4m - 11} \right) > 0\]

\[ \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 - 4m + 11 > 0\]

\[ \Leftrightarrow {m^2} - 6m + 12 > 0\]

\[ \Leftrightarrow {m^2} - 6m + 9 + 3 > 0\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {m - 3} \right)^2} + 3 > 0\]

Vì \[{\left( {m - 3} \right)^2} \ge 0\,\,\forall m\] nên \[{\left( {m - 3} \right)^2} + 3 > 0\,\,\forall m \Rightarrow \Delta ' > 0\,\,\forall m\].

Hay phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt \[{x_1},\,{x_2}\] với mọi \[m\].

Áp dụng hệ thức Vi – ét ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 2\left( {m - 1} \right)\\{x_1}{x_2} = 4m - 11\end{array} \right.\].

Vì \[{x_1},\,{x_2}\] là nghiệm của phương trình \[{x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + 4m - 11 = 0\] nên ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}x_1^2 + 2\left( {m - 1} \right){x_1} + 4m - 11 = 0\\x_2^2 + 2\left( {m - 1} \right){x_2} + 4m - 11 = 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x_1^2 + 4\left( {m - 1} \right){x_1} + 8m - 22 = 0\\x_2^2 + 2\left( {m - 1} \right){x_2} + 4m - 11 = 0\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x_1^2 =  - 4\left( {m - 1} \right){x_1} - 8m + 22\\x_2^2 =  - 2\left( {m - 1} \right){x_2} - 4m + 11\end{array} \right.\].

Ta có: \[2{\left( {{x_1} - 1} \right)^2} + \left( {6 - {x_2}} \right)\left( {{x_1}{x_2} + 11} \right) = 72\]

\[ \Leftrightarrow 2x_1^2 - 4{x_1} + 2 + 6{x_1}{x_2} + 66 - {x_1}x_2^2 - 11{x_2} = 72\]

\[ \Leftrightarrow  - 4\left( {m - 1} \right){x_1} - 8m + 22 - 4{x_1} + 6{x_1}{x_2} - {x_1}\left[ { - 2\left( {m - 1} \right){x_2} - 4m + 11} \right] - 11{x_2} = 4\]

\[ \Leftrightarrow  - 4m{x_1} + 4{x_1} - 8m - 4{x_1} + 6{x_1}{x_2} + 2\left( {m - 1} \right){x_1}{x_2} + 4m{x_1} - 11{x_1} - 11{x_2} =  - 18\]

\[ \Leftrightarrow \left( {2m + 4} \right){x_1}{x_2} - 11\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 8m - 18\]

\[ \Leftrightarrow \left( {2m + 4} \right)\left( {4m - 11} \right) - 11.\left[ { - 2\left( {m - 1} \right)} \right] = 8m - 18\]

\[ \Leftrightarrow 8{m^2} - 22m + 16m - 44 + 22m - 22 = 8m - 18\]

\[ \Leftrightarrow 8{m^2} + 8m - 48 = 0\]

\[ \Leftrightarrow {m^2} + m - 6 = 0\]

\[ \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 3m - 6 = 0\]

\[ \Leftrightarrow m\left( {m - 2} \right) + 3\left( {m - 2} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {m + 3} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m =  - 3\end{array} \right.\].

Vậy \[m =  - 3\] hoặc \[m = 2\] thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.