Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng chiều dương hướng lên trên sao cho tọa độ của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm \[t\] (giây) là \[y = {t^3} - 12t + 3,\,\,t \ge 0\].

a) Hàm gia tốc của vật là \[a = y'\].

b) Hàm vận tốc của vật là \[v\left( t \right) = 3{t^2} - 12\].

c) Tại thời điểm \[t = 1\] thì hạt đang chuyển động lên trên.

d) Trong khoảng thời gian \[0 \le t \le 3\] thì quãng đường mà hạt đi là \[23\]m.

Gọi hình chữ nhật cần tính diện tích là \(MNPQ\) có \(OP = x\)\[\left( {0 < x < 4} \right)\], \(ON = 4\).

Khi đó diện tích của hình chữ nhật \(MNPQ\) là: \[S = MN \cdot NP\]\[ = 2x\sqrt {16 - {x^2}} \].

Xét hàm số \[f\left( x \right) = 2x\sqrt {16 - {x^2}} \]trên \[\left( {0;\,4} \right)\].

Ta có \(f'\left( x \right) = 2\sqrt {16 - {x^2}} - \frac{{2{x^2}}}{{\sqrt {16 - {x^2}} }}\)\( = \frac{{ - 4{x^2} + 32}}{{\sqrt {16 - {x^2}} }}\); \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\sqrt 2 \in \left( {0;\,4} \right)\\x = - 2\sqrt 2 \notin \left( {0;\,4} \right)\end{array} \right.\).

Bảng biến thiên:

Ta có \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;\,4} \right)} f\left( x \right) = f\left( {2\sqrt 2 } \right) = 16\).

Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật có thể cắt được là \(16\,{\rm{(d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\).

Đáp án: 16.

Tổng khối lượng của NaOH sau khi trộn \[x\](ml) là: \[25 \cdot 100 + 9x = 2500 + 9x\] (mg).

Tổng thể tích của dung dịch sau khi trộn là: \[25 + x\]\[ \Rightarrow C\left( x \right) = \frac{{2500 + 9x}}{{25 + x}}\] với \[x \ge 0\].

Tập xác định là \[D = \left[ {0; + \infty } \right)\] có \[C'\left( x \right) = \frac{{9 \cdot \left( {25 + x} \right) - (2500 + 9x)}}{{{{\left( {25 + x} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2275}}{{{{\left( {25 + x} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in D\].

Lại có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{2500 + 9x}}{{25 + x}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{{2500}}{x} + 9}}{{\frac{{25}}{x} + 1}} = 9\].

Do đó nồng độ NaOH luôn giảm nhưng luôn lớn hơn \[9\]mg/ml.

Đáp án: 9.