Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng chiều dương hướng lên trên sao cho tọa độ của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm \[t\] (giây) là \[y = {t^3} - 12t + 3,\,\,t \ge 0\].

a) Hàm gia tốc của vật là \[a = y'\].

b) Hàm vận tốc của vật là \[v\left( t \right) = 3{t^2} - 12\].

c) Tại thời điểm \[t = 1\] thì hạt đang chuyển động lên trên.

d) Trong khoảng thời gian \[0 \le t \le 3\] thì quãng đường mà hạt đi là \[23\]m.

a)  Đúng. Chi phí để \(A\) sản xuất \(10\) tấn sản phẩm trong một tháng là

\(C\left( {10} \right) = 100 + 30 \cdot 10 = 400\) triệu đồng.

b) Sai. Số tiền \(A\) thu được khi bán \(10\) tấn sản phẩm cho \(B\) là

\(R\left( {10} \right) = 10 \cdot P\left( {10} \right) = 10 \cdot \left( {45 - 0,001 \cdot {{10}^2}} \right) = 449\) triệu đồng.

c) Đúng. Lợi nhuận mà \(A\) thu được là:

\(H\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = xP\left( x \right) - C\left( x \right)\)

\( = 45x - 0,001{x^3} - \left( {100 + 30x} \right) = - 0,001{x^3} + 15x - 100\) (triệu đồng).

d) Đúng. Xét hàm số \(H\left( x \right) = - 0,001{x^3} + 15x - 100\), \(\left( {0 \le x \le 100} \right)\)

Ta có: \(H'\left( x \right) = - 0,003{x^2} + 15 = 0 \Leftrightarrow - 0,003{x^2} + 15 = 0 \Rightarrow x = 50\sqrt 2 \) (chọn).

Khi đó: \(H\left( 0 \right) = - 100\); \[H\left( {50\sqrt 2 } \right) = 500\sqrt 2 - 100\]; \(H\left( {100} \right) = 400\).

Vậy \(A\) bán cho \(B\) khoảng \(50\sqrt 2 \approx 70,7\) tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi nhuận lớn nhất bằng \[H\left( {50\sqrt 2 } \right) = 500\sqrt 2 - 100\] (triệu đồng).

a) Đúng. Có \(f'\left( x \right) = \frac{1}{2} \cdot 2x + 1 - 6 \cdot \frac{1}{{x + 2}} = x + 1 - \frac{6}{{x + 2}}\).

b) Sai. Ta có

\(f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow x + 1 - \frac{6}{{x + 2}} = 0 \Rightarrow \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) - 6}}{{x + 2}} = 0 \Rightarrow {x^2} + 3x - 3 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{ - 3 + \sqrt {21} }}{2}}\\{x = \frac{{ - 3 - \sqrt {21} }}{2}}\end{array}} \right.\).

Mà \(x \in \left[ { - 1;2} \right]\) nên \(x = \frac{{ - 3 + \sqrt {21} }}{2}\).

c) Đúng. Ta có \(f\left( { - 1} \right) = \frac{1}{2} \cdot {\left( { - 1} \right)^2} + 1 - 6{\rm{ln}}\left( { - 1 + 2} \right) = \frac{{ - 1}}{2};\)

\(f\left( 2 \right) = \frac{1}{2} \cdot {2^2} + 2 - 6{\rm{ln}}\left( {2 + 2} \right) = 4 - 12{\rm{ln}}2\).

d) Sai. Có \(f\left( {\frac{{ - 3 + \sqrt {21} }}{2}} \right) = \frac{1}{2}.{\left( {\frac{{ - 3 + \sqrt {21} }}{2}} \right)^2} + \left( {\frac{{ - 3 + \sqrt {21} }}{2}} \right) - 6{\rm{ln}}\left( {\frac{{ - 3 + \sqrt {21} }}{2} + 2} \right) \approx - 5,05\).

Mà \(f\left( { - 1} \right) = \frac{{ - 1}}{2} = - 0,5;f\left( 2 \right) = 4 - 12{\rm{ln}}2 \approx - 4,32\).