Một cốc chứa \[25\]ml dung dịch NaOH với nồng độ \[100\] mg/ml. Một bình chứa dung dịch NaOH khác với nồng độ \[9\]mg/ml được trộn vào cốc. Gọi \[C\left( x \right)\] là nồng độ của NaOH sau khi trộn \[x\](ml) từ bình chứa, ta thấy nồng độ của NaOH trong cốc sẽ luôn giảm theo \[x\] nhưng luôn lớn hơn một số \[a\]. Tính \[a\].

a) Sai. Nếu \[y\] là hàm số biểu thị cho chuyển động của hạt thì \[y'\] là hàm vận tốc \(v\).

b) Đúng. Ta có \[y = {t^3} - 12t + 3 \Rightarrow v = y' = 3{t^2} - 12\].

c) Sai. Dựa vào hàm vận tốc \[v\left( t \right) = 3{t^2} - 12\] thì hạt đi lên khi \(v > 0\) và xuống khi \(v < 0\).

Do đó, vật đi lên khi \(t \in \left( {2; + \infty } \right)\) và đi xuống khi \(t \in \left( {0;2} \right)\).

Vậy tại thời điểm \[t = 1\] thì hạt đang chuyển động đi xuống.

d) Đúng. Từ \[t = 0\] tới \[t = 2\], vật chuyển động từ tọa độ \[y = 3\] đến tọa độ \[y = - 13\], tức là vật đi được quãng đường \[16\] đơn vị độ dài, tương ứng 16 m.

Từ \[t = 2\] tới \[t = 3\], vật chuyển động từ tọa độ \[y = - 13\] đến tọa độ \[y = - 6\], tức là vật đi được quãng đường \[7\] đơn vị độ dài, tương ứng 7 m.

Kết luận quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian \[0 \le t \le 3\] là \[23\] m.

a) Đúng. Có \(f'\left( x \right) = \frac{1}{2} \cdot 2x + 1 - 6 \cdot \frac{1}{{x + 2}} = x + 1 - \frac{6}{{x + 2}}\).

b) Sai. Ta có

\(f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow x + 1 - \frac{6}{{x + 2}} = 0 \Rightarrow \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) - 6}}{{x + 2}} = 0 \Rightarrow {x^2} + 3x - 3 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{ - 3 + \sqrt {21} }}{2}}\\{x = \frac{{ - 3 - \sqrt {21} }}{2}}\end{array}} \right.\).

Mà \(x \in \left[ { - 1;2} \right]\) nên \(x = \frac{{ - 3 + \sqrt {21} }}{2}\).

c) Đúng. Ta có \(f\left( { - 1} \right) = \frac{1}{2} \cdot {\left( { - 1} \right)^2} + 1 - 6{\rm{ln}}\left( { - 1 + 2} \right) = \frac{{ - 1}}{2};\)

\(f\left( 2 \right) = \frac{1}{2} \cdot {2^2} + 2 - 6{\rm{ln}}\left( {2 + 2} \right) = 4 - 12{\rm{ln}}2\).

d) Sai. Có \(f\left( {\frac{{ - 3 + \sqrt {21} }}{2}} \right) = \frac{1}{2}.{\left( {\frac{{ - 3 + \sqrt {21} }}{2}} \right)^2} + \left( {\frac{{ - 3 + \sqrt {21} }}{2}} \right) - 6{\rm{ln}}\left( {\frac{{ - 3 + \sqrt {21} }}{2} + 2} \right) \approx - 5,05\).

Mà \(f\left( { - 1} \right) = \frac{{ - 1}}{2} = - 0,5;f\left( 2 \right) = 4 - 12{\rm{ln}}2 \approx - 4,32\).