Cho bốn điểm \(A,\,B,\,C,\,D\) không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên \(AB,\,AD\) lần lượt lấy các điểm \(M\) và \(N\) sao cho \(MN\) cắt \(BD\) tại \(I\). Điểm \(I\) không thuộc mặt phẳng nào sao đây?       

Đáp án đúng là: A

Trong \[\left( {ABCD} \right)\], \(AB\)cắt \[CD\] tại \(I\)

\[\left\{ \begin{array}{l}I \in AB \subset \left( {SAB} \right)\\I \in CD \subset \left( {MCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {MCD} \right)\,\,\left( 1 \right)\]

Lại có:\[\left\{ \begin{array}{l}M \in AB \subset \left( {SAB} \right)\\M \in \left( {MCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow M \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {MCD} \right)\,\,\left( 2 \right)\].

Từ (1) và (2); suy ra \(MI\) là giao tuyến của \[\left( {SAB} \right)\] và \(\left( {MCD} \right)\).

a) Ta có \(N\) là điểm chung thứ nhất; \(E = BC \cap AD \Rightarrow E\) là điểm chung thứ 2

\( \Rightarrow \left( {SBC} \right) \cap \left( {ADN} \right) = NE\).

Gọi \(P = SC \cap NE\). Khi đó \(P = SC \cap \left( {ADN} \right)\).

b) Ta có : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{SI = \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)}\\{AB \subset \left( {SAB} \right)}\\{CD \subset \left( {SCD} \right)}\\{AB\,{\rm{//}}\,CD}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow SI\,{\rm{//}}\,AB\,{\rm{//}}\,CD\).

Mà \(MN\,{\rm{//}}\,AB\) (do \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta SAB\))

\( \Rightarrow MN\,{\rm{//}}\,SI\), lại có \(M\) là trung điểm của \(SA\)

\( \Rightarrow N\) là trung điểm của \(AI\)

Tứ giác \(SABI\) có \(N\) là trung điểm của \(SB,AI\) nên \(SABI\) là hình bình hành.