(1,0 điểm) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(SD\), \(G\) là trọng tâm tam giác \(ACD\) và \(I\) là trung điểm của đoạn \(SG\).

a) Chứng minh rằng \(MI\,{\rm{//}}\,BD\).

b) Xác định giao điểm \(F\) của \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {CMI} \right)\) và tính tỉ số \(\frac{{FS}}{{FA}}\).

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{{n^2} + n + 1}}{{2{n^2} + 1}} = \frac{1}{2} + \frac{{n + \frac{3}{2}}}{{2{n^2} + 1}}\)

Với mọi \(n \in \mathbb{N}*,\) xét hiệu số:

\({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{2} + \frac{{n + 1 + \frac{3}{2}}}{{2{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1}} - \left( {\frac{1}{2} + \frac{{n + \frac{3}{2}}}{{2{n^2} + 1}}} \right)\) \( = \frac{{n + \frac{5}{2}}}{{2{n^2} + 2n + 3}} - \frac{{n + \frac{3}{2}}}{{2{n^2} + 1}}\)

\( = \frac{{\left( {n + \frac{5}{2}} \right)\left( {2{n^2} + 1} \right) - \left( {n + \frac{3}{2}} \right)\left( {2{n^2} + 2n + 3} \right)}}{{\left( {2{n^2} + 2n + 3} \right)\left( {2{n^2} + 1} \right)}}\) \( = \frac{{ - 5n - 2}}{{\left( {2{n^2} + 2n + 3} \right)\left( {2{n^2} + 1} \right)}} < 0{\rm{   }}\forall n \ge 1.\)

Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Ta có \[C \in \left( {BCD} \right) \cap \left( {CMP} \right)\] \[\left( 1 \right)\].

Lại có \[BD \cap MP = E \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}E \in BD \Rightarrow E \in \left( {BCD} \right)\\E \in MP \Rightarrow E \in \left( {CMP} \right)\end{array} \right.\] \[\left( 2 \right)\].

Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\]\[ \Rightarrow \left( {BCD} \right) \cap \left( {CMP} \right) = CE\].