(1,0 điểm) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(SD\), \(G\) là trọng tâm tam giác \(ACD\) và \(I\) là trung điểm của đoạn \(SG\).

a) Chứng minh rằng \(MI\,{\rm{//}}\,BD\).

b) Xác định giao điểm \(F\) của \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {CMI} \right)\) và tính tỉ số \(\frac{{FS}}{{FA}}\).

a) Do \(M,I\) lần lượt là trung điểm của \(SD,SG\) nên \(MI\) là đường trung bình của tam giác \(SDG\).

Do đó \(MI\,{\rm{//}}\,DG\) hay \(MI\,{\rm{//}}\,BD\).

b) Trong \(\left( {SBD} \right)\) kẻ \(MI\) cắt \(SO\) tại \(E\) (với \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD\))

Trong \(\left( {SAC} \right)\) kẻ \(CE\) cắt \(SA\) tại \(F\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}F \in SA\\F \in \left( {CMI} \right)\end{array} \right.\) hay \(F = SA \cap \left( {CMI} \right)\)

Kẻ \(ON\,{\rm{//}}\,CF\) với \(N \in SA\).

Do \(O\) là trung điểm của \(AC\) nên \(N\) là trung điểm của \[FA\].

Vì \(FE\,{\rm{//}}\,NO\) và \(E\) là trung điểm của \(SO\) nên \(F\) là trung điểm của \(SN\).

Vậy \(\frac{{FS}}{{FA}} = \frac{1}{2}.\)