Khu vực trung tâm một quảng trường (xem hình vẽ bên) có dạng hình tròn đường kính \(AB\) bằng \(12\,{\rm{m}}\). Người ta trang trí khu vực này bằng hai đường parabol đối xứng nhau qua \(AB\), nằm trong hình tròn, đi qua các điểm \(A,\,B\) và có đình cách mép hình tròn \(1\,{\rm{m}}\). Phần giới hạn bởi hai parabol được trồng hoa với chi phí \(300\) nghìn đồng mỗi mét vuông, phần còn lại được lát gạch gốm sứ với chi phí \(900\) nghìn đồng mỗi mét vuông. Tổng chi phí để hoàn thành khu vực này là bao nhiêu triệu đồng? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Ta có \[h\left( t \right) = \int {h'\left( t \right){\rm{d}}t} = \frac{1}{5}\int {{{\left( {t + 3} \right)}^{\frac{1}{3}}}{\rm{d}}t} = \frac{3}{{20}}{\left( {t + 3} \right)^{\frac{4}{3}}} + C\].

\[h\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{9\sqrt[3]{3}}}{{20}} + C = 0 \Leftrightarrow C = - \frac{{9\sqrt[3]{3}}}{{20}} \to h\left( t \right) = \frac{3}{{20}}{\left( {t + 3} \right)^{\frac{4}{3}}} - \frac{{9\sqrt[3]{3}}}{{20}}\].

\[h\left( t \right) = 2,1 \Leftrightarrow \frac{3}{{20}}{\left( {t + 3} \right)^{\frac{4}{3}}} - \frac{{9\sqrt[3]{3}}}{{20}} = 2,1 \Leftrightarrow {\left( {t + 3} \right)^{\frac{4}{3}}} \approx 18,33 \Rightarrow t \approx 6\].

Vậy sau khi bơm khoảng 6 giờ thì độ sâu của mực nước trong hồ là 2,1 m.

Đáp án: 6.

Chọn hệ trục \[Oxy\] sao cho gốc toạ độ \[O\] trùng với giao điểm \[AB,CD\].

Đường tròn lớn có phương trình: \[{x^2} + {y^2} = 25 \Rightarrow y = \pm \sqrt {25 - {x^2}} \].

Ta có \[OA = OB = OC = OD = \frac{4}{2} = 2\].

Đường tròn nhỏ có tâm trên trục \[Ox\]là \[\left( {4;0} \right)\] nên có phương trình:

\[{\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} = 4 \Rightarrow y = \pm \sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} \].

Ta có: \[\sqrt {25 - {x^2}} = \sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} \Leftrightarrow x = \frac{{37}}{8}\].

Gọi \(H\) là phần hình phẳng gạch chéo.

Ta có hình phẳng \(H\) giới hạn bởi các đường \[y = \sqrt {25 - {x^2}} ,y = \sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} ,y = 0\].

Đặt \({H_1} = \left\{ {y = \sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} ,y = 0,x = 2,x = \frac{{37}}{8}} \right\}\); \({H_2} = \left\{ {y = \sqrt {25 - {x^2}} ,y = 0,x = \frac{{37}}{8},x = 5} \right\}\).

Diện tích của hình \({H_1}\) là \[{S_{{H_1}}} = \int\limits_2^{\frac{{37}}{8}} {\sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} } {\rm{d}}x\].

Diện tích của hình \({H_2}\)là \({S_{{H_2}}} = \int\limits_{\frac{{37}}{8}}^5 {\sqrt {25 - {x^2}} } {\rm{d}}x\).

Khi đó diện tích của hình \(H\) là: \[{S_H} = \int\limits_2^{\frac{{37}}{8}} {\sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} } {\rm{d}}x + \int\limits_{\frac{{37}}{8}}^5 {\sqrt {25 - {x^2}} } {\rm{d}}x\].

Diện tích của đường tròn lớn là: \({S_1} = \pi \cdot {5^2} = 25\pi \).

Diện tích phần sơn 1 mặt của chi tiết máy

\[S = 25\pi - 8{S_H} = 25\pi - 8\left( {\int\limits_2^{\frac{{37}}{8}} {\sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} } {\rm{d}}x + \int\limits_{\frac{{37}}{8}}^5 {\sqrt {25 - {x^2}} } {\rm{d}}x} \right) \approx 39,7\,({\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}) = 0,397({{\rm{m}}^{\rm{2}}})\].

Chi phí để sơn hoàn thiện chi tiết máy: \[2 \cdot 0,397 \cdot 82 \approx 65\] (nghìn đồng).

Đáp án: 65.