Một nhà kho có dạng khối hộp chữ nhật cùng phần mái phía trên được thiết kế dạng vòm cong. Chiều dài của nhà kho là 40 m, chiều rộng 10 m, chiều cao 5 m; đường cắt của mái vòm khi cắt bởi mặt phẳng vuông góc với chiều dài của kho là một cung tròn, điểm cao nhất của mái vòm có chiều cao là 6 m (hình vẽ minh họa).

Để tính toán công suất cho hệ thống làm lạnh nhà kho, người ta cần ước lượng thể tích phần không gian bên trong nhà kho. Hãy cho biết thể tích không gian bên trong nhà kho là bao nhiêu mét khối (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Ta có \[h\left( t \right) = \int {h'\left( t \right){\rm{d}}t} = \frac{1}{5}\int {{{\left( {t + 3} \right)}^{\frac{1}{3}}}{\rm{d}}t} = \frac{3}{{20}}{\left( {t + 3} \right)^{\frac{4}{3}}} + C\].

\[h\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{9\sqrt[3]{3}}}{{20}} + C = 0 \Leftrightarrow C = - \frac{{9\sqrt[3]{3}}}{{20}} \to h\left( t \right) = \frac{3}{{20}}{\left( {t + 3} \right)^{\frac{4}{3}}} - \frac{{9\sqrt[3]{3}}}{{20}}\].

\[h\left( t \right) = 2,1 \Leftrightarrow \frac{3}{{20}}{\left( {t + 3} \right)^{\frac{4}{3}}} - \frac{{9\sqrt[3]{3}}}{{20}} = 2,1 \Leftrightarrow {\left( {t + 3} \right)^{\frac{4}{3}}} \approx 18,33 \Rightarrow t \approx 6\].

Vậy sau khi bơm khoảng 6 giờ thì độ sâu của mực nước trong hồ là 2,1 m.

Đáp án: 6.

Chọn hệ trục \[Oxy\] sao cho gốc toạ độ \[O\] trùng với giao điểm \[AB,CD\].

Đường tròn lớn có phương trình: \[{x^2} + {y^2} = 25 \Rightarrow y = \pm \sqrt {25 - {x^2}} \].

Ta có \[OA = OB = OC = OD = \frac{4}{2} = 2\].

Đường tròn nhỏ có tâm trên trục \[Ox\]là \[\left( {4;0} \right)\] nên có phương trình:

\[{\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} = 4 \Rightarrow y = \pm \sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} \].

Ta có: \[\sqrt {25 - {x^2}} = \sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} \Leftrightarrow x = \frac{{37}}{8}\].

Gọi \(H\) là phần hình phẳng gạch chéo.

Ta có hình phẳng \(H\) giới hạn bởi các đường \[y = \sqrt {25 - {x^2}} ,y = \sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} ,y = 0\].

Đặt \({H_1} = \left\{ {y = \sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} ,y = 0,x = 2,x = \frac{{37}}{8}} \right\}\); \({H_2} = \left\{ {y = \sqrt {25 - {x^2}} ,y = 0,x = \frac{{37}}{8},x = 5} \right\}\).

Diện tích của hình \({H_1}\) là \[{S_{{H_1}}} = \int\limits_2^{\frac{{37}}{8}} {\sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} } {\rm{d}}x\].

Diện tích của hình \({H_2}\)là \({S_{{H_2}}} = \int\limits_{\frac{{37}}{8}}^5 {\sqrt {25 - {x^2}} } {\rm{d}}x\).

Khi đó diện tích của hình \(H\) là: \[{S_H} = \int\limits_2^{\frac{{37}}{8}} {\sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} } {\rm{d}}x + \int\limits_{\frac{{37}}{8}}^5 {\sqrt {25 - {x^2}} } {\rm{d}}x\].

Diện tích của đường tròn lớn là: \({S_1} = \pi \cdot {5^2} = 25\pi \).

Diện tích phần sơn 1 mặt của chi tiết máy

\[S = 25\pi - 8{S_H} = 25\pi - 8\left( {\int\limits_2^{\frac{{37}}{8}} {\sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} } {\rm{d}}x + \int\limits_{\frac{{37}}{8}}^5 {\sqrt {25 - {x^2}} } {\rm{d}}x} \right) \approx 39,7\,({\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}) = 0,397({{\rm{m}}^{\rm{2}}})\].

Chi phí để sơn hoàn thiện chi tiết máy: \[2 \cdot 0,397 \cdot 82 \approx 65\] (nghìn đồng).

Đáp án: 65.