Bác An dự định trồng hai loại cây ăn trái là mít và xoài trong nông trại rộng 100 hecta. Biết mỗi hecta trồng mít cần 20 công chăm sóc và thu lại lợi nhuận 150 triệu đồng, mỗi hecta trồng xoài cần 40 công chăm sóc và thu lại lợi nhuận 180 triệu đồng. Biết rằng tổng số công cần dùng không được vượt quá 2 800 công. Gọi \(x,y\) (hecta) lần lượt là diện tích đất dùng để trồng mít và xoài. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau.

a) \(x + y \le 100\).

b) \(x + 2y \le 140\).

c) Tổng lợi nhuận thu được là \(E = 150x + 180y\) (triệu đồng).

d) Lợi nhuận thu được lớn nhất là 16 tỷ đồng.

Trả lời: 1,88

Ta có \({\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right|^2} = {\overrightarrow a ^2} + 2.\overrightarrow a .\overrightarrow b  + {\overrightarrow b ^2}\)\( = {\overrightarrow a ^2} + 2.\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) + {\overrightarrow b ^2}\)\( = {2^2} + 2.2.\sqrt 3 .\cos 120^\circ  + {\left( {\sqrt 3 } \right)^2}\)

\( = 7 - 2\sqrt 3  \approx 3,54\).

Suy ra \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| \approx 1,88\).

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ

a) \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC}  = 2\overrightarrow {AO} \).

b) M là trung điểm của \(AB\) nên \(\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DB}  = 2\overrightarrow {DM} \).

c) \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CA}  =  - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  =  - \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) =  - {a^2}.\cos 45^\circ  =  - \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}\].

d) Có \(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {DA} .\overrightarrow {DB} \)\( = \left| {\overrightarrow {DA} } \right|.\left| {\overrightarrow {DB} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {DA} ,\overrightarrow {DB} } \right)\)\( = a.a\sqrt 2 .\cos 45^\circ  = {a^2}\).

\(\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {AC}  = \left| {\overrightarrow {OM} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {AC} } \right)\)\( = \frac{a}{2}.a\sqrt 2 .\cos 135^\circ  =  - \frac{1}{2}{a^2}\).

Suy ra \(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {OM} .\overrightarrow {AC}  = \frac{{{a^2}}}{2}\).