Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có \[AC = a,\,\,BC = 2a,\,\,\widehat {ACB} = 120^\circ \] có thể tích \(V\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BB'\).

a) Số đo của góc nhị diện \(\left[ {A,CC',B} \right]\) bằng \(60^\circ \).

b) Biết khoảng cách giữa hai mặt đáy lăng trụ bằng \(2a\). Khi đó \(V = {a^3}\sqrt 3 \).

c) \({V_{M.ABC}} = \frac{1}{6}V\).

d) \(d\left( {C',\left( {ABB'A'} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

a) Sai. Ta có \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AC \bot CC'}\\{BC \bot CC'}\end{array} \Rightarrow \widehat {ACB}} \right.\] là một góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {A,CC',B} \right]\).

Mà \(\widehat {ACB} = 120^\circ \) nên số đo của góc nhị diện \(\left[ {A,CC',B} \right]\) bằng \(120^\circ \).

b) Đúng. Vì khoảng cách giữa hai mặt đáy lăng trụ bằng \(2a\) nên \(d\left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right) = 2a\).

Mà \(d\left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right) = AA'\) nên \(AA' = 2a\).

Ta có \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AC \cdot BC \cdot {\rm{sin}}\widehat {ACB} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 2a \cdot {\rm{sin}}120^\circ = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).

Thể tích của khối lăng trụ là: \(V = {V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}} \cdot AA' = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} \cdot 2a = {a^3}\sqrt 3 \).

c) Đúng. Ta có \({V_{M.ABC}} = \frac{1}{3}MB \cdot {S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}BB' \cdot {S_{ABC}} = \frac{1}{6}V\). Vậy \({V_{M.ABC}} = \frac{1}{6}V\).

d) Đúng. Gọi \(H\) là chân đường cao kẻ từ \(C\) xuống \(AB\). Khi đó \(CH \bot AB\).

Mà \(AA' \bot CH \Rightarrow CH \bot \left( {ABB'A'} \right) \Rightarrow d\left( {C,\left( {ABB'A'} \right)} \right) = CH\).

Ta cũng có \(CC'\,{\rm{//}}\left( {ABB'A'} \right)\) nên \(d\left( {C',\left( {ABB'A'} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {ABB'A'} \right)} \right) = CH\).

Ta có \(AB = \sqrt {A{C^2} + B{C^2} - 2AC \cdot BC{\rm{cos}}\widehat {ACB}} = \sqrt {{a^2} + 4{a^2} - 2 \cdot a \cdot 2a{\rm{cos}}120^\circ } = a\sqrt 7 \).

Lại có\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}CH \cdot AB \Rightarrow CH = \frac{{2{S_{ABC}}}}{{AB}} = \frac{{2 \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}}}{{a\sqrt 7 }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt 7 }} = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

Vậy \(d\left( {C',\left( {ABB'A'} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).