Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\), tam giác \(SAB\) là tam giác cân và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, gọi \(H\) là trung điểm cạnh \(AB\), khoảng cách từ điểm \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) là \(a\sqrt 2 \), gọi \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(SD\) và mặt phẳng đáy. Tính giá trị của biểu thức \[M = 25{\tan ^2}\alpha + 4{\cot ^2}\alpha \].

Gọi \(I\) là trung điểm \(CD\). Khi đó, ta có \(HI{\rm{//}}AD{\rm{//}}BC \Rightarrow HI \bot AB,\,\,HI \bot CD\).

Ta lại có tam giác \(SAB\) đều nên \(SH \bot AB\).

Mặt khác \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\), suy ra \(SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot HI\).

Kẻ \(HK \bot SI\,\,\left( {K \in SI} \right)\).

Ta có \(CD \bot HI\) và \(CD \bot SH\) \(\left( {{\rm{do}}\,SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\).

Suy ra \(CD \bot \left( {SHI} \right) \Rightarrow CD \bot HK\).

Từ đó suy ra \(HK \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right) = HK\).

Lại có \(BH{\rm{//}}CD \Rightarrow BH{\rm{//}}\left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right) = HK = a\sqrt 2 \).

Ta có \(HI = BC = 2a\).

Tam giác \(SHI\) vuông tại \(H\) nên ta có

\(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{I^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{S{H^2}}} = \frac{1}{{H{K^2}}} - \frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}} - \frac{1}{{4{a^2}}} = \frac{1}{{4{a^2}}} \Rightarrow SH = 2a\).

Vì \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SD\) cắt mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) tại \(D\)

\( \Rightarrow HD\) là hình chiếu của \(SD\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).

\( \Rightarrow \left( {SD,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SD,HD} \right) = \widehat {SDH}\).

Xét \(\Delta SHD\) vuông tại \(H\): \(\tan \widehat {SDH} = \frac{{SH}}{{HD}} = \frac{{2a}}{{a\sqrt 5 }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }} \Rightarrow \cot \widehat {SDH} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).

Vậy \[M = 25{\tan ^2}\alpha + 4{\cot ^2}\alpha = 25 \cdot {\left( {\frac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)^2} + 4 \cdot {\left( {\frac{{\sqrt 5 }}{2}} \right)^2} = 25\].

Đáp án: 25.