II. Tự luận (4,0 điểm)

(1,0 điểm) Giải phương trình:

a) \(2\sin 2x + 1 = 0\);                                              b) \(\tan \left( {\frac{{4\pi }}{9} + x} \right) + 2\cot \left( {\frac{\pi }{{18}} - x} \right) = \sqrt 3 \).

a) \(2\sin 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = \frac{{ - 1}}{2}\)

\( \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)\)

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\,,\,\,k \in \mathbb{Z}\].

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{ { - \frac{\pi }{{12}} + k\pi ;\,\,\frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

b) $\tan \left(\frac{4\mathrm{\pi }}{9}+\mathrm{x}\right)+2\cot \left(\frac{\mathrm{\pi }}{18}-\mathrm{x}\right)=\sqrt{3}(*)$

Điều kiện \[\left\{ \begin{array}{l}\cos \left( {\frac{{4\pi }}{9} + x} \right) \ne 0\\\sin \left( {\frac{\pi }{{18}} - x} \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{4\pi }}{9} + x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\\frac{\pi }{{18}} - x \ne l\pi \end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{8} + k\pi \\x \ne \frac{\pi }{8} - k\pi \end{array} \right.\, \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{8} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Ta có \(\left( {\frac{{4\pi }}{9} + x} \right) + \left( {\frac{\pi }{{18}} - x} \right) = \frac{\pi }{2} \Rightarrow \tan \left( {\frac{{4\pi }}{9} + x} \right) = \cot \left( {\frac{\pi }{{18}} - x} \right).\)

Khi đó \((*) \Leftrightarrow \cot \left( {\frac{\pi }{{18}} - x} \right) + 2\cot \left( {\frac{\pi }{{18}} - x} \right) = \sqrt 3 \)

\( \Leftrightarrow 3\cot \left( {\frac{\pi }{{18}} - x} \right) = \sqrt 3 \Leftrightarrow \cot \left( {\frac{\pi }{{18}} - x} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)

\[ \Leftrightarrow \frac{\pi }{{18}} - x = \frac{\pi }{3} + k\pi \Leftrightarrow x = - \frac{{5\pi }}{{18}} - k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \[x = - \frac{{5\pi }}{{18}} - k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]