II. TỰ LUẬN (3 ĐIỂM)

(1,0 điểm) Cho 2 tập hợp \[A = \left[ { - 3;\,6} \right],\,B = \left[ {2m - 4;\,2m + 3} \right)\].

a) Tìm tập hợp \[A \cap \mathbb{Z}\].

b) Tìm \[m\] để \[A \cap B = \emptyset \].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

+) Có \[M\] là trung điểm của \[AB\]

\[ \Rightarrow MA = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}.2a = a\]

+) Xét tam giác \[ADM\] vuông tại \[A\], ta có:

Áp dụng định lý Py-ta-go:

\[\begin{array}{l}M{D^2} = M{A^2} + A{D^2}\\ \Rightarrow M{D^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}\\ \Rightarrow MD = \sqrt {2{a^2}} = a\sqrt 2 \end{array}\]

+) \[\left| {\overrightarrow {MD} } \right| = MD = a\sqrt 2 \].

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác \[ABC\], ta có:

\[\widehat A = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = 180^\circ - \left( {105^\circ + 30^\circ } \right) = 45^\circ \].

Áp dụng định lý sin, ta có: \[\frac{{AB}}{{\sin 30^\circ }} = \frac{{AC}}{{\sin 105^\circ }} \Leftrightarrow \frac{{AB}}{{\sin 30^\circ }} = \frac{{22}}{{\sin 105^\circ }} \Rightarrow AB \approx 11,4\]

Vậy khoảng cách từ \[A\] đến \[B\] là \[11,4\]m.

b) Diện tích của khu vườn: \[{S_{ABCD}} = {S_{ABC}} + {S_{ADC}}\].

Xét tam giác \[ABC\] có: \[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat A \approx \frac{1}{2}.11,4.22.\sin 45^\circ \approx 88,67\]

Xét tam giác \[ADC\]có: \[p = \frac{{AD + CD + AC}}{2} = \frac{{20 + 22 + 6}}{2} = 24\]

\[\begin{array}{l}{S_{ADC}} = \sqrt {p\left( {p - AD} \right)\left( {p - CD} \right)\left( {p - AC} \right)} \\ \Rightarrow {S_{ADC}} = \sqrt {24.\left( {24 - 20} \right)\left( {24 - 22} \right)\left( {24 - 6} \right)} \approx 58,79\end{array}\]

\[ \Rightarrow {S_{ABCD}} \approx 88,67 + 58,79 \approx 147,5\].

Vậy diện tích khu vườn đó là \(147,5\,\,{m^2}\).