(1,0 điểm) Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa \[24\]g hương liệu, \[9\]lít nước và \[210\]g đường để pha chế nước cam và nước táo. Để pha \[1\]lít nước cam cần \[30\]g đường, \[1\]lít nước và \[1\]g hương liệu. Để pha \[1\]lít nước táo cần \[10\]g đường, \[1\]lít nước và \[4\]g hương liệu. Mỗi lít nước cam nhận được \[60\] điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận \[80\] điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗi loại để đạt được số điểm cao nhất?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

+) Có \[M\] là trung điểm của \[AB\]

\[ \Rightarrow MA = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}.2a = a\]

+) Xét tam giác \[ADM\] vuông tại \[A\], ta có:

Áp dụng định lý Py-ta-go:

\[\begin{array}{l}M{D^2} = M{A^2} + A{D^2}\\ \Rightarrow M{D^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}\\ \Rightarrow MD = \sqrt {2{a^2}} = a\sqrt 2 \end{array}\]

+) \[\left| {\overrightarrow {MD} } \right| = MD = a\sqrt 2 \].

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác \[ABC\], ta có:

\[\widehat A = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = 180^\circ - \left( {105^\circ + 30^\circ } \right) = 45^\circ \].

Áp dụng định lý sin, ta có: \[\frac{{AB}}{{\sin 30^\circ }} = \frac{{AC}}{{\sin 105^\circ }} \Leftrightarrow \frac{{AB}}{{\sin 30^\circ }} = \frac{{22}}{{\sin 105^\circ }} \Rightarrow AB \approx 11,4\]

Vậy khoảng cách từ \[A\] đến \[B\] là \[11,4\]m.

b) Diện tích của khu vườn: \[{S_{ABCD}} = {S_{ABC}} + {S_{ADC}}\].

Xét tam giác \[ABC\] có: \[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat A \approx \frac{1}{2}.11,4.22.\sin 45^\circ \approx 88,67\]

Xét tam giác \[ADC\]có: \[p = \frac{{AD + CD + AC}}{2} = \frac{{20 + 22 + 6}}{2} = 24\]

\[\begin{array}{l}{S_{ADC}} = \sqrt {p\left( {p - AD} \right)\left( {p - CD} \right)\left( {p - AC} \right)} \\ \Rightarrow {S_{ADC}} = \sqrt {24.\left( {24 - 20} \right)\left( {24 - 22} \right)\left( {24 - 6} \right)} \approx 58,79\end{array}\]

\[ \Rightarrow {S_{ABCD}} \approx 88,67 + 58,79 \approx 147,5\].

Vậy diện tích khu vườn đó là \(147,5\,\,{m^2}\).