(1,0 điểm) Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa \[24\]g hương liệu, \[9\]lít nước và \[210\]g đường để pha chế nước cam và nước táo. Để pha \[1\]lít nước cam cần \[30\]g đường, \[1\]lít nước và \[1\]g hương liệu. Để pha \[1\]lít nước táo cần \[10\]g đường, \[1\]lít nước và \[4\]g hương liệu. Mỗi lít nước cam nhận được \[60\] điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận \[80\] điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗi loại để đạt được số điểm cao nhất?

Hướng dẫn giải

Giả sử \[x,\,y\] lần lượt là số lít nước cam và số lít nước táo mà mỗi đội thi cần pha chế \[\left( {x,\,y \ge 0} \right)\].

Khi đó:

Số gam đường cần dùng là: \[30x + 10y\].

Số lít nước cần dùng là: \[x + y\].

Số gam hương liệu cần dùng là: \[x + 4y\].

Vì mỗi đội chơi được sử dụng tối đa \[24\]g hương liệu, \[9\]lít nước và \[210\]g đường để pha chế nước cam và nước táo nên ta lập được hệ bất phương trình\[\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\30x + 10y \le 210\\x + y \le 9\\x + 4y \le 24\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\3x + y \le 21\\x + y \le 9\\x + 4y \le 24\end{array} \right.\].\[\left( 1 \right)\]

Miền nghiệm của \[\left( 1 \right)\] là miền trong ngũ giác \[OBCDE\] với \[O\left( {0;\,0} \right)\], \[B\left( {0;\,6} \right)\], \[C\left( {4;\,5} \right)\], \[D\left( {6;\,3} \right)\], \[E\left( {7;\,0} \right)\].

Số điểm thưởng đạt được là: \[P = 60x + 80y\].

Biểu thức \[P = 60x + 80y\] đạt GTLN tại \[\left( {x;\,y} \right)\] là tọa độ một trong các đỉnh của ngũ giác.

Ta cần tìm \[x,\,y\] để biểu thức \[P = 60x + 80y\] đạt GTLN trên miền nghiệm của \[\left( 1 \right)\].

Thay lần lượt tọa độ các đỉnh vào biểu thức, ta được:

\[P\left( {0;\,0} \right) = 0,\,P\left( {0;\,6} \right) = 480,\,P\left( {4;\,5} \right) = 640,\,P\left( {6;\,3} \right) = 600,\,P\left( {7;\,0} \right) = 420\].

Vậy mỗi đội nên pha chế \[4\]lít nước cam và \[5\]lít nước táo để đạt được số điểm thưởng cao nhất.