Trên sườn đồi, với độ dốc \[12\% \] (độ dốc của sườn đồi được tính bằng tan góc nhọn tạo bởi sườn đồi với phương ngang) có một cây cao mọc thẳng đứng. Ở phía chân đồi, cách gốc cây \[30\]m, người ta nhìn ngọn cây dưới một góc \[45^\circ \] so với phương ngang. Hỏi chiều cao của cây là bao nhiêu (làm tròn đến hàng đơn vị, theo đơn vị mét)?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta được:

\[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \]. Do đó A sai, B đúng.

Ta có: O là tâm của hình bình hành nên \(\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AO} \)                

Khi đó \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AO} \]. Do đó C đúng.                

\[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} } \right) + \left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} } \right) = \overrightarrow 0 \]. Do đó D đúng.

Hướng dẫn giải

Giả sử \[x,\,y\] lần lượt là số lít nước cam và số lít nước táo mà mỗi đội thi cần pha chế \[\left( {x,\,y \ge 0} \right)\].

Khi đó:

Số gam đường cần dùng là: \[30x + 10y\].

Số lít nước cần dùng là: \[x + y\].

Số gam hương liệu cần dùng là: \[x + 4y\].

Vì mỗi đội chơi được sử dụng tối đa \[24\]g hương liệu, \[9\]lít nước và \[210\]g đường để pha chế nước cam và nước táo nên ta lập được hệ bất phương trình\[\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\30x + 10y \le 210\\x + y \le 9\\x + 4y \le 24\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\3x + y \le 21\\x + y \le 9\\x + 4y \le 24\end{array} \right.\].\[\left( 1 \right)\]

Miền nghiệm của \[\left( 1 \right)\] là miền trong ngũ giác \[OBCDE\] với \[O\left( {0;\,0} \right)\], \[B\left( {0;\,6} \right)\], \[C\left( {4;\,5} \right)\], \[D\left( {6;\,3} \right)\], \[E\left( {7;\,0} \right)\].

Số điểm thưởng đạt được là: \[P = 60x + 80y\].

Biểu thức \[P = 60x + 80y\] đạt GTLN tại \[\left( {x;\,y} \right)\] là tọa độ một trong các đỉnh của ngũ giác.

Ta cần tìm \[x,\,y\] để biểu thức \[P = 60x + 80y\] đạt GTLN trên miền nghiệm của \[\left( 1 \right)\].

Thay lần lượt tọa độ các đỉnh vào biểu thức, ta được:

\[P\left( {0;\,0} \right) = 0,\,P\left( {0;\,6} \right) = 480,\,P\left( {4;\,5} \right) = 640,\,P\left( {6;\,3} \right) = 600,\,P\left( {7;\,0} \right) = 420\].

Vậy mỗi đội nên pha chế \[4\]lít nước cam và \[5\]lít nước táo để đạt được số điểm thưởng cao nhất.