Cho hai hàm số \[y = x + m + 1\] và \[y = 3 + \left( {m-1} \right)x.\] Với giá trị nào của \[m\] để đồ thị hai hàm số trên cắt nhau tại một điểm trên trục hoành?

a) Đúng. Ta có \(2 \ne 1\) nên hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right),\left( {{d_2}} \right)\) cắt nhau.

b) Sai. Nhận thấy, đồ thị hàm số \(\left( {{d_1}} \right):y = 2x + 1\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {0;1} \right)\) và \(B\left( { - \frac{1}{2};0} \right)\).

Đồ thị hàm số \(\left( {{d_2}} \right):y = x + 1\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {0;1} \right)\) và \(C\left( { - 1;0} \right)\).

Do đó, hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right),\left( {{d_2}} \right)\) cùng đi qua điểm \(A\left( {0;1} \right)\).

c) Sai. Gọi đường thẳng \(\left( {{d_3}} \right)\) đi qua \(E\left( { - 1;0} \right)\) và song song với \(\left( {{d_1}} \right)\) có dạng \(\left( {{d_3}} \right):y = ax + b\).

Vì \(\left( {{d_3}} \right)\parallel \left( {{d_1}} \right)\) nên \(a = 2\) do đó, ta có \(\left( {{d_3}} \right):y = 2x + b\).

Thay \(E\left( { - 1;0} \right)\) vào \(\left( {{d_3}} \right)\), ta được: \(2.\left( { - 1} \right) + b = 0\) nên \(b = 2\).

Do đó, đường thẳng \(\left( {{d_3}} \right):y = 2x + 2.\)

d) Đúng. Gọi đường thẳng \(\left( {{d_4}} \right)\) có dạng \(\left( {{d_4}} \right):y = ax + b\).

Theo đề, đường thẳng có hệ số góc bằng \(3\) nên ta có \(\left( {{d_4}} \right):y = 3x + b\).

Mà đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {0;1} \right)\) nên ta có \(3.0 + b = 1\) suy ra \(b = 1.\)

Vậy đường thẳng \(\left( {{d_4}} \right):y = 3x + 1\).

Đáp án đúng là: B

Để hai đường thẳng trên vuông góc với nhau thì \(\left( {m + 3} \right) \cdot 3 = - 1,\) suy ra \(m + 3 = - \frac{1}{3}\) nên \(m = - \frac{{10}}{3}.\)