Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\;\,\left( {AB < AC} \right)\) có \(AM\;\,\left( {M \in BC} \right)\) là đường phân giác của tam giác đó. Kẻ đường thẳng vuông góc với \(BC\) tại \(M\) cắt \(AC\) tại \(N.\) Biết rằng \(MN = 5\;\,{\rm{m,}}\) tính độ dài đoạn thẳng \(MB.\) (Đơn vị: \({\rm{m}}\)).

Đáp án đúng là: D

Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) nên \(\widehat A = 90^\circ .\) Vì \(\Delta MNP\) vuông tại \(P\) nên \(\widehat P = 90^\circ .\)

Vì \(\widehat A = \widehat P = 90^\circ \) nên để \(\Delta ABC \sim \Delta PMN\) thì cần thêm điều kiện: \(\widehat B = \widehat M\) hoặc \(\widehat C = \widehat N.\)

Do đó, chọn đáp án D.

a) Đúng.

Vì \(M,\;\,N\) lần lượt là hình chiếu của \(H\) trên \(AB,\;\,AC\) nên \(HM \bot AB;\;\,HN \bot AC.\)

Do đó, \(\widehat {AMH} = \widehat {HMB} = \widehat {ANH} = \widehat {HNC} = 90^\circ .\)

Vì \(AH\) là đường cao của tam giác \(ABC\) nên \(AH \bot BC.\) Suy ra \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ .\)

\(\Delta AHM\) và \(\Delta ABH\) có: \(\widehat {AMH} = \widehat {AHB} = 90^\circ ;\;\,\widehat {HAM}\) chung nên \(\Delta AHM \sim \Delta ABH\) (g.g).

b) Đúng.

\(\Delta AHN\) và \(\Delta ACH\) có: \(\widehat {ANH} = \widehat {AHC} = 90^\circ ;\;\,\widehat {HAN}\) chung nên \(\Delta AHN \sim \Delta ACH\) (g.g).

Do đó, \(\frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AH}}.\) Suy ra \(A{H^2} = AN \cdot AC.\)

c) Sai.

Theo a) ta có: \(\Delta AHM \sim \Delta ABH\)  (g.g) nên \(\frac{{AM}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}}.\) Suy ra \(AM \cdot AB = A{H^2}.\)

Mà \(A{H^2} = AN \cdot AC\) nên \(AM \cdot AB = AN \cdot AC.\)

d) Đúng.

Vì \(AM \cdot AB = AN \cdot AC\) nên \(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AB}}.\)

\(\Delta ANM\) và \(\Delta ABC\) có: \(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AB}};\;\,\widehat {NAM} = \widehat {BAC} = 90^\circ \) chung nên \(\Delta ANM \sim \Delta ABC\)(c.g.c).