(1 điểm) Cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1;\,\,1} \right),\,B\left( {2;\,4} \right),\,C\left( {10;\, - 2} \right)\).

a) Chứng minh tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\).

b) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} \) và tính \(\cos B,\,\,\cos C\).

a) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;\,3} \right),\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {9;\, - 3} \right)\) nên \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 1 \cdot 9 + 3 \cdot \left( { - 3} \right) = 0\).

Do đó, hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) vuông góc với nhau hay \(AB \bot AC\).

Vậy tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).

b) Ta có: \(\overrightarrow {BA} = \left( { - 1;\, - 3} \right),\,\overrightarrow {BC} = \left( {8;\, - 6} \right)\). Do đó, \(\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = \left( { - 1} \right) \cdot 8 + \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 6} \right) = 10\).

\(BA = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {10} ,\,BC = \sqrt {{8^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} = 10\).

 Mà \(\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\,\overrightarrow {BC} } \right) = BA \cdot BC \cdot \cos B\).

Do đó, \(\cos B = \frac{{\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} }}{{BA \cdot BC}} = \frac{{10}}{{\sqrt {10} \cdot 10}} = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\).

Suy ra \(\sin B = \sqrt {1 - {{\cos }^2}B} = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{{\sqrt {10} }}} \right)}^2}} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}\) (do \(\widehat B\) nhọn).

Vì \(\widehat B\) và \(\widehat C\) là hai góc phụ nhau (do tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\)).

Do đó, \(\cos C = \sin B = \frac{3}{{\sqrt {10} }}\).