Trong các dãy số có công thức tổng quát sau đây, dãy số nào là dãy số tăng?

Đáp án đúng là: A

+) Xét đáp án A

\[{u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {\frac{{n + 1}}{2} - 1} \right) - \left( {\frac{n}{2} - 1} \right) = \frac{1}{2} > 0\] nên \[{u_n} = \frac{n}{2} - 1\] là dãy tăng.

+) Xét đáp án B

\[{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{2}{{n + 1}} + 1 - \left( {\frac{2}{n} + 1} \right)\]\[ = \frac{2}{{n + 1}} - \frac{2}{n} = - \frac{2}{{n\left( {n + 1} \right)}} < 0,\forall n \in \mathbb{N}\]

Nên \[{u_n} = \frac{2}{n} + 1\] là dãy giảm.

+) Xét đáp án C

\[{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) + 1}}{{5\left( {n + 1} \right) + 2}} - \frac{{2n + 1}}{{5n + 2}}\]\[ = \frac{{2n + 3}}{{5n + 7}} - \frac{{2n + 1}}{{5n + 2}} = - \frac{1}{{\left( {5n + 7} \right)\left( {5n + 2} \right)}} < 0,\forall n \in \mathbb{N}\]

Nên \[{u_n} = \frac{{2n + 1}}{{5n + 2}}\] là dãy giảm.

+) Đáp án D. Ta có \[{u_1} = {\left( { - 1} \right)^1} \cdot {3^1} = - 3\]; \[{u_2} = {\left( { - 1} \right)^2} \cdot {3^2} = 9\], \[{u_3} = {\left( { - 1} \right)^3} \cdot {3^3} = - 27\] . Loại.