Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều, độ sâu L (tính theo đơn vị mét) của mực mước trong kênh theo thời gian t (giờ) được cho bởi công thức \(L = 3\sin \left( {\frac{{\pi t}}{4} + \frac{\pi }{3}} \right) + 14\). Thời gian ngắn nhất để mực nước của kênh cao nhất là \(t = \frac{a}{b}\) (giờ) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính giá trị của \(a \cdot b\).

Có \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = 1 - {\left( {\frac{{ - 4}}{5}} \right)^2} = \frac{9}{{25}}\).

Mà \(\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}\) nên \(\cos \alpha  < 0 \Rightarrow \cos \alpha  =  - \frac{3}{5}\). Chọn A.

\(\cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) =  - 1\)\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{4} - x = \pi  + k2\pi \)\( \Leftrightarrow x = \frac{{ - 3\pi }}{4} + k2\pi \).

Vì nghiệm của phương trình là nghiệm dương nhỏ nhất nên \(k = 1\).

Do đó \(x = \frac{{5\pi }}{4}\). Suy ra \(a = 5;b = 4\). Vậy T = 5 + 4 = 9.

Trả lời: 9.