(1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), chọn các điểm \(A\left( {3; - 1} \right),\,\,B\left( { - 1;\,\,2} \right)\) và \(I\left( {1;\, - 1} \right)\). Xác định tọa độ các điểm \(C\), \(D\) sao cho tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành biết \(I\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Tìm tọa tâm \(O\) của hình bình hành \(ABCD\).

Vì \(I\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên

\[{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} \Rightarrow {x_C} = 3{x_I} - {x_A} - {x_B} = 3 \cdot 1 - 3 - \left( { - 1} \right) = 1\]

\[{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{2} \Rightarrow {y_C} = 3{y_I} - {y_A} - {y_B} = 3 \cdot \left( { - 1} \right) - \left( { - 1} \right) - 2 = - 4\]

Suy ra \(C\left( {1;\, - 4} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 4;\,\,3} \right),\,\overrightarrow {AC} = \left( { - 2;\,\, - 3} \right)\), do \(\frac{{ - 4}}{{ - 2}} \ne \frac{3}{{ - 3}}\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} \) không cùng phương, do đó ba điểm \(A,\,\,B,\,C\) không thẳng hàng.

Khi đó, tứ giác\(ABCD\) là hình bình hành khi và chỉ khi

\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 = 1 - {x_D}\\3 = - 4 - {y_D}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 5\\{y_D} = - 7\end{array} \right. \Rightarrow D(5;\, - 7)\).

Điểm \(O\) là tâm của hình bình hành \(ABCD\) suy ra \(O\) là trung điểm \(AC\).

Do đó, \[{x_O} = \frac{{{x_A} + {x_C}}}{2} = \frac{{3 + 1}}{2} = 2,\,\,{y_O} = \frac{{{y_A} + {y_C}}}{2} = \frac{{\left( { - 1} \right) + \left( { - 4} \right)}}{2} = - \frac{5}{2} \Rightarrow O\left( {2; - \frac{5}{2}} \right)\].