Cho hàm số \(f\left( x \right) = \cos x\) và \(g\left( x \right) = \sin 5x\).

a) \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow x =  \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(\left\{ {\frac{\pi }{3} + k2\pi ; - \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

b) Vì \(x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) nên \(\left[ \begin{array}{l} - \frac{\pi }{2} \le \frac{\pi }{3} + k2\pi  \le \frac{{5\pi }}{2}\\ - \frac{\pi }{2} \le  - \frac{\pi }{3} + k2\pi  \le \frac{{5\pi }}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - \frac{5}{{12}} \le k \le \frac{{13}}{{12}}\\ - \frac{1}{{12}} \le k \le \frac{{17}}{{12}}\end{array} \right.\).

Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(\left[ \begin{array}{l}k = 0;k = 1\\k = 0;k = 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3};x = \frac{{7\pi }}{3}\\x =  - \frac{\pi }{3};x = \frac{{5\pi }}{3}\end{array} \right.\).

Suy ra phương trình có 4 nghiệm trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right]\).

c) Tổng các nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}\)trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) là \(\frac{\pi }{3} + \frac{{7\pi }}{3} + \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) + \frac{{5\pi }}{3} = 4\pi \).

d) \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\)\( \Leftrightarrow \cos x = \sin 5x\)\( \Leftrightarrow \cos x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 5x} \right)\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{2} - 5x = x + k2\pi \\\frac{\pi }{2} - 5x =  - x + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3}\\x = \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2}\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

Suy ra tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Đúng;   d) Đúng.