Cho đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \sin x\) như hình vẽ

\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = k\pi \)\( \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Vì \(x \in \left[ {0;2025\pi } \right]\) nên \(0 \le  - \frac{\pi }{4} + k\pi  \le 2025\pi \)\( \Leftrightarrow \frac{1}{4} \le k \le \frac{{8101}}{4}\) mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ {1;2;..;2025} \right\}\).

Khi đó \(S = \frac{{3\pi }}{4} + \frac{{7\pi }}{4} + \frac{{11\pi }}{4} + ... + \frac{{8099\pi }}{4}\)\( = \frac{\pi }{4}\left( {3 + 7 + 11 + ... + 8099} \right)\)\( = \frac{\pi }{4}.\frac{{\left( {3 + 8099} \right).2025}}{2} = \frac{{4051.2025\pi }}{4}\).

Khi đó \(\frac{{4S}}{{2025\pi }} = \frac{4}{{2025\pi }}.\frac{{4051.2025\pi }}{4} = 4051\).

Trả lời: 4051.

\(2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{3} = k\pi \)\( \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Vì \(x \in \left[ {\pi ;2\pi } \right]\) nên \(\pi  \le  - \frac{\pi }{3} + k\pi  \le 2\pi \)\( \Leftrightarrow \frac{4}{3} \le k \le \frac{7}{3}\) mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên k = 2.

Do đó phương trình \(2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 0\) có 1 nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {\pi ;2\pi } \right]\). Chọn B.