Cho hàm số \(y = \cos 2x - 2\cos x + 4\) có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất lần lượt là M và m. Tính \(M \cdot m\).

\(y = \cos 2x - 2\cos x + 4\)\( = 2{\cos ^2}x - 1 - 2\cos x + 4\)\[ = 2{\cos ^2}x - 2\cos x + 3\].

Đặt \(\cos x = t, - 1 \le t \le 1\). Khi đó \[y = 2{t^2} - 2t + 3\].

Hàm số \[y = 2{t^2} - 2t + 3\] là một parabol có bề lõm hướng lên.

Hoành độ đỉnh của parabol là \({t_0} = \frac{1}{2}\).

Vì \(\frac{1}{2} \in \left[ { - 1;1} \right]\) nên giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt tại \({t_0}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(y\left( {\frac{1}{2}} \right) = 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - 2.\frac{1}{2} + 3 = \frac{5}{2}\).

Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\) đạt được tại một trong hai đầu mút.

Ta có \(y\left( { - 1} \right) = 7;y\left( 1 \right) = 3\). Vậy giá trị lớn nhất là 7.

Suy ra \(M = 7;m = \frac{5}{2}\). Do đó \(M \cdot m = \frac{{35}}{2} = 17,5\).

Trả lời: 17,5.