Cho tam giác \(ABC\) có \(G\) là trọng tâm tam giác, \(M\) là trung điểm của \(BC\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Hướng dẫn giải

Gọi \(N\) là trung điểm của \[AD\]

Xet tam giác \(ADM\) có: \(\overrightarrow {MG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {MN} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MG} = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} } \right)\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AN} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\overrightarrow {AD} - \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \).

b)

Ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} ,\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {BA} \)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {MI} } \right| = 2MI,\left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| = AB\)

\( \Rightarrow 2MI = AB\) hay \(MI = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}\)

Suy ra tam giác \(ABM\) vuông tại \(M\)và nội tiếp đường tròn tâm \(I\) bán kính \(\frac{{AB}}{2}\).

Khi đó \(MH \le MI\)

\( \Rightarrow MH \le \frac{a}{2}\)

Vậy độ dài lớn nhất của \(MH\) là bằng \(\frac{a}{2}\) khi \(H\) trùng với với \(I\).

Hướng dẫn giải

Gọi hàm số cần tìm là \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\)

Thay \(x = 0\) và \(y = - 7\) vào hàm số ta được: \( - 7 = a{.0^2} + b.0 + c \Leftrightarrow c = - 7\).

Khi đó ta có hàm số \(y = a{x^2} + bx - 7\).

Thay \(x = 10\) và \(y = - 4\) vào hàm số ta được: \( - 4 = a{.10^2} + b.10 - 7 \Leftrightarrow 100a + 10b = 3\) \(\left( 1 \right)\).

Thay \(x = 20\) và \(y = 5\) vào hàm số ta được: \(5 = a{.20^2} + b.20 - 7 \Leftrightarrow 400a + 20b = 12\)

\( \Leftrightarrow 100a + 5b = 3\)\(\left( 2 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}100a + 10b = 3\\100a + 5b = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{3}{{100}}\\b = 0\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow y = \frac{3}{{100}}{x^2} - 7\)       

Vậy hàm số bậc hai có đồ thị chứa nhánh parabol nói trên là \(y = \frac{3}{{100}}{x^2} - 7\).