(1,0 điểm).

a) Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \[a\], \[M\] là trung điểm của\[AB\], \[G\] là trọng tâm tam giác \(ADM\). Phân tích \(\overrightarrow {MG} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \).

b) Cho đoạn thẳng \(AB\) có độ dài bằng \[a\]. Một điểm \(M\)di động sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} } \right|\). Gọi \(H\) là hình chiếu của \(M\) lên \(AB\). Tính độ dài lớn nhất của \(MH\)?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} \).

\( \Rightarrow \overrightarrow {GM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AM} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {GM} \)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

+) Hàm số \(y = {x^2} - 9x\) có tọa độ điểm đỉnh là \({x_I} = - \frac{{ - 9}}{{2.1}} = \frac{9}{2};{y_I} = - \frac{\Delta }{{4a}} = - \frac{{{{\left( { - 9} \right)}^2} - 4.1.0}}{{4.1}} = - \frac{{81}}{4}\).

Hàm số có \(a = 1 > 0\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {\frac{9}{2}; + \infty } \right)\). Do đó hàm số này không đồng biến trên khoảng \(\left( {2;5} \right)\).

+) Hàm số \(y = - 2{x^2} + 3x - 1\) có tọa độ điểm đỉnh là

\({x_I} = - \frac{3}{{2.\left( { - 2} \right)}} = \frac{3}{4};{y_I} = - \frac{\Delta }{{4a}} = - \frac{{{3^2} - 4.\left( { - 2} \right).\left( { - 1} \right)}}{{4.\left( { - 2} \right)}} = \frac{1}{8}\).

Hàm số có \(a = - 2 < 0\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{3}{4}} \right)\). Do đó hàm số này không đồng biến trên khoảng \(\left( {2;5} \right)\).

+) Hàm số \(y = {x^2} - 4x + 3\) có tọa độ điểm đỉnh là

\({x_I} = - \frac{{ - 4}}{{2.1}} = 2;{y_I} = - \frac{\Delta }{{4a}} = - \frac{{{{\left( { - 4} \right)}^2} - 4.1.3}}{{4.1}} = - 1\).

Hàm số có \(a = 1 > 0\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\). Do đó hàm số này đồng biến trên khoảng \(\left( {2;5} \right)\).

+) Hàm số \(y = - 3{x^2} - 3x + 5\) có tọa độ điểm đỉnh là

\({x_I} = - \frac{{ - 3}}{{2.\left( { - 3} \right)}} = - \frac{1}{2};{y_I} = - \frac{\Delta }{{4a}} = - \frac{{{{\left( { - 3} \right)}^2} - 4.\left( { - 3} \right).5}}{{4.\left( { - 3} \right)}} = \frac{{23}}{4}\).

Hàm số có \(a = - 3 < 0\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right)\). Do đó hàm số này không đồng biến trên khoảng \(\left( {2;5} \right)\).