Cho đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Nếu \(\left( \beta \right)\) chứa \(a\) và cắt \(\left( \alpha \right)\) theo giao tuyến \(b\) thì \(a\) và \(b\) là hai đường thẳng

\(A = \frac{{\tan \alpha + 3\cot \alpha }}{{\tan \alpha + \cot \alpha }}\)

\( = \frac{{\tan \alpha + 3 \cdot \frac{1}{{\tan \alpha }}}}{{\tan \alpha + \frac{1}{{\tan \alpha }}}}\)

\( = \frac{{{{\tan }^2}\alpha + 3}}{{{{\tan }^2}\alpha + 1}}\)

\( = \frac{{\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + 2}}{{\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}}}\)

\( = 1 + 2{\cos ^2}x\).

Mà \(\cos \alpha = \frac{2}{3}\) nên \(A = 1 + 2 \cdot {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{{17}}{9}\).

a) Ta có \(S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Trong \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}O \in \left( {SAC} \right)\\O \in \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right).\)

b) Trong \(\left( {SAC} \right)\), gọi \(E\) là giao điểm của \(AN\) và \(SO\)

Trong \(\left( {SBD} \right)\), \(ME\)cắt \(SD\) tại \(K\) mà \(ME \in (A{\rm{MN}})\)

\( \Rightarrow K\) là giao điểm của \(\left( {AMN} \right)\) với \(SD\).

Xét tam giác \(SAC\) có \(SO\) và \(AN\) là các trung tuyến và \(SO \cap AN = E\)

Nên \(E\) là trọng tâm tam giác \(SAC\). Do đó \(SE = 2EO \Rightarrow \frac{{SE}}{{EO}} = 2\).

Mặt khác \(MS = 2MB \Rightarrow \frac{{MS}}{{MB}} = 2\).

Do \(\frac{{SE}}{{EO}} = \frac{{MS}}{{MB}} = 2\) \( \Rightarrow ME{\rm{//}}BO\) hay \(MK{\rm{//}}BD\) mà \(BD \subset \left( {ABCD} \right)\).

Suy ra \(MK{\rm{//}}\left( {ABCD} \right)\).