Lương tháng của một số giáo viên THPT được ghi lại như sau (đơn vị: triệu đồng):

Hãy tìm tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

\(A = \frac{{\tan \alpha + 3\cot \alpha }}{{\tan \alpha + \cot \alpha }}\)

\( = \frac{{\tan \alpha + 3 \cdot \frac{1}{{\tan \alpha }}}}{{\tan \alpha + \frac{1}{{\tan \alpha }}}}\)

\( = \frac{{{{\tan }^2}\alpha + 3}}{{{{\tan }^2}\alpha + 1}}\)

\( = \frac{{\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + 2}}{{\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}}}\)

\( = 1 + 2{\cos ^2}x\).

Mà \(\cos \alpha = \frac{2}{3}\) nên \(A = 1 + 2 \cdot {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{{17}}{9}\).

a) Ta có \(S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Trong \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}O \in \left( {SAC} \right)\\O \in \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right).\)

b) Trong \(\left( {SAC} \right)\), gọi \(E\) là giao điểm của \(AN\) và \(SO\)

Trong \(\left( {SBD} \right)\), \(ME\)cắt \(SD\) tại \(K\) mà \(ME \in (A{\rm{MN}})\)

\( \Rightarrow K\) là giao điểm của \(\left( {AMN} \right)\) với \(SD\).

Xét tam giác \(SAC\) có \(SO\) và \(AN\) là các trung tuyến và \(SO \cap AN = E\)

Nên \(E\) là trọng tâm tam giác \(SAC\). Do đó \(SE = 2EO \Rightarrow \frac{{SE}}{{EO}} = 2\).

Mặt khác \(MS = 2MB \Rightarrow \frac{{MS}}{{MB}} = 2\).

Do \(\frac{{SE}}{{EO}} = \frac{{MS}}{{MB}} = 2\) \( \Rightarrow ME{\rm{//}}BO\) hay \(MK{\rm{//}}BD\) mà \(BD \subset \left( {ABCD} \right)\).

Suy ra \(MK{\rm{//}}\left( {ABCD} \right)\).