(1 điểm) Một tháp viễn thông cao 48 m được dựng thẳng đứng trên một sườn dốc \(25^\circ \) so với phương ngang. Từ đỉnh tháp, người ta neo một sợi dây cáp xuống một điểm trên sườn dốc cách chân tháp 35 m như hình dưới. Tính chiều dài của sợi dây cáp đó.

Đáp án đúng là: B

Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {5{x^2} - 28x - 29} = \sqrt {{x^2} - 5x + 6} \) ta được:

\(5{x^2} - 28x - 29 = {x^2} - 5x + 6\).

Thu gọn phương trình trên ta được: \(4{x^2} - 23x - 35 = 0\). Từ đó suy ra \(x = - \frac{5}{4}\) hoặc \(x = 7\).

Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là \(S = \left\{ { - \frac{5}{4};\,\,7} \right\}\).

a) Ta có: \[AC \bot DB \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = 0\]

\[\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right)\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right)\]

\[ = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} - A{B^2} + \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AB} \]

Ta lại có: \[\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AB} = 0\]

Và \[A{B^2} = {h^2},\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AD} = BC \cdot AD = ab\] .

Do đó, \[\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = 0 - {h^2} + ab - 0 = ab - {h^2}\].

Vậy \[\overrightarrow {AC} \bot \overrightarrow {BD} \Leftrightarrow ab - {h^2} = 0\].

b) Vì \(I\) là trung điểm \(CD\) nên \[\overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)\] và \[\overrightarrow {BI} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} } \right)\].

Khi đó ta có: \[\widehat {AIB} = 90^\circ \Leftrightarrow \overrightarrow {AI} \cdot \overrightarrow {BI} = 0 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} } \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BD} = 0\]

Mà \[\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BC} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right)\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} + {\overrightarrow {BC} ^2} = 0 + B{C^2} = {b^2}\]; \[\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = ab - {h^2}\];

\[\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BC} = AD \cdot BC = ab\]; $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\right)=\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BA}+{\overrightarrow{AD}}^2=0+A{D}^2=a^2$

Do đó, ta có: \[\widehat {AIB} = 90^\circ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - {h^2} + 2ab = 0 \Leftrightarrow a + b = h.\]