I. Trắc nghiệm (7 điểm)

Phủ định của mệnh đề “\(\exists x \in \mathbb{N},{x^2} + x = 1\)” là mệnh đề

Đáp án đúng là: A

Hàm số \(y = {x^2} + 2mx + 5\) có \(a = 1 > 0\) nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi \(x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{2m}}{{2.1}} = - m\).

Theo bài ra ta có: \(y\left( { - m} \right) = 1 \Leftrightarrow {\left( { - m} \right)^2} + 2m.\left( { - m} \right) + 5 = 1 \Leftrightarrow {m^2} = 4 \Leftrightarrow m = \pm 2\).

Ta xem vị trí ga \(A\), ga \(B\) và tháp \(C\) như các điểm, nối với nhau tạo thành \(\Delta ABC\).

Theo bài ra ta có \(AB = 8\) km, \[\widehat {CAB} = 60^\circ ,\,\,\widehat {ABC} = 45^\circ \].

Ta có: \(\widehat {ACB} + \widehat {CAB} + \widehat {ABC} = 180^\circ \).

Suy ra \(\widehat {ACB} = 180^\circ - \left( {60^\circ + 45^\circ } \right) = 75^\circ \).

Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\), ta có: \(\frac{{AC}}{{\sin \widehat {ABC}}} = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}}\).

Suy ra \(AC = \frac{{AB\sin \widehat {ABC}}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{8 \cdot \sin 45^\circ }}{{\sin 75^\circ }} \approx 5,86\) (km).

Vậy khoảng cách từ ga \(A\) đến tháp \(C\) xấp xỉ bằng 5,86 km.