(1 điểm) Một người ngồi trên tàu hỏa đi từ ga \(A\) đến ga \(B\). Khi tàu đỗ ở ga \(A\), qua ống nhòm người đó nhìn thấy một tháp \(C\) như hình dưới. Hướng nhìn từ người đó đến tháp tạo với hướng đi tàu một góc 60°. Khi tàu đỗ ở ga \(B\), người đó nhìn lại vẫn thấy tháp \(C\), hướng nhìn từ người đó đến tháp tại với hướng ngược với hướng đi của tàu một góc 45°. Biết rằng đoạn đường tàu nối thẳng ga \(A\) với ga \(B\) dài 8 km. Hỏi khoảng cách từ ga \(A\) đến tháp \(C\) là bao nhiêu?

Đáp án đúng là: A

Hàm số \(y = {x^2} + 2mx + 5\) có \(a = 1 > 0\) nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi \(x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{2m}}{{2.1}} = - m\).

Theo bài ra ta có: \(y\left( { - m} \right) = 1 \Leftrightarrow {\left( { - m} \right)^2} + 2m.\left( { - m} \right) + 5 = 1 \Leftrightarrow {m^2} = 4 \Leftrightarrow m = \pm 2\).

Gắn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho gốc tọa độ trùng với trung điểm của \(AB\), tia \(AB\) là chiều dương của trục \(Ox\), gọi các điểm như hình vẽ trên.

Gọi parabol của dạng cổng là \(y = a{x^2} + bx + c\) với \(a \ne 0\).

Do đỉnh parabol nằm trên trục \(Oy\) nên ta có: \(\frac{{ - b}}{{2a}} = 0 \Rightarrow b = 0\) và đỉnh có tọa độ là: \(\left( {0;c} \right)\).

Ta có: \(OB = 150:2 = 75\) (m), \(OH = 150:2 - 15 = 60\) (m).

Do đó, có các tọa độ \(B\left( {75;0} \right)\), \(I\left( { - 60;42} \right)\), parabol đi qua hai điểm đó nên ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{75^2} \cdot a + c = 0\\{\left( { - 60} \right)^2} \cdot a + c = 42\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{{14}}{{675}}\\c = \frac{{350}}{3}\end{array} \right.\).

Như vậy chiều cao của cổng (tính từ mặt đất đến điểm cao nhất của cổng) là tung độ của đỉnh của parabol nên \(h = c = \frac{{350}}{3}\).

Vậy cổng parabol cao \(\frac{{350}}{3}\) m.