II. Tự luận (3 điểm)

(1 điểm) Một chiếc cổng vòm dạng parabol (như hình vẽ). Khoảng cách giữa hai chân cổng là 150 m, trên thành cổng, tại vị trí có độ cao 42 m so với mặt đất, người ta thả một sợi dây chạm đất (dây không co giãn, căng thẳng, vuông góc với mặt đất). Đầu dây chạm đất cách chân cổng \(A\) một đoạn 15 m. Hãy tính chiều cao của cổng (tính từ mặt đất đến điểm cao nhất của cổng).

Đáp án đúng là: A

Hàm số \(y = {x^2} + 2mx + 5\) có \(a = 1 > 0\) nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi \(x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{2m}}{{2.1}} = - m\).

Theo bài ra ta có: \(y\left( { - m} \right) = 1 \Leftrightarrow {\left( { - m} \right)^2} + 2m.\left( { - m} \right) + 5 = 1 \Leftrightarrow {m^2} = 4 \Leftrightarrow m = \pm 2\).

Ta xem vị trí ga \(A\), ga \(B\) và tháp \(C\) như các điểm, nối với nhau tạo thành \(\Delta ABC\).

Theo bài ra ta có \(AB = 8\) km, \[\widehat {CAB} = 60^\circ ,\,\,\widehat {ABC} = 45^\circ \].

Ta có: \(\widehat {ACB} + \widehat {CAB} + \widehat {ABC} = 180^\circ \).

Suy ra \(\widehat {ACB} = 180^\circ - \left( {60^\circ + 45^\circ } \right) = 75^\circ \).

Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\), ta có: \(\frac{{AC}}{{\sin \widehat {ABC}}} = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}}\).

Suy ra \(AC = \frac{{AB\sin \widehat {ABC}}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{8 \cdot \sin 45^\circ }}{{\sin 75^\circ }} \approx 5,86\) (km).

Vậy khoảng cách từ ga \(A\) đến tháp \(C\) xấp xỉ bằng 5,86 km.