II. Tự luận (3 điểm)

(1 điểm). Một cửa hàng bán trà sữa thuộc nhãn hàng Toco – Toco ở Diễn Châu sắp khai trương đang nghiên cứu thị trường để định giá bán cho mỗi cốc trà sữa trân châu. Sau khi nghiên cứu, người quản lý thấy rằng nếu bán với giá 30 000 đồng một cốc thì mỗi tháng trung bình sẽ bán được 2 200 cốc, còn từ mức giá 30 000 đồng mà cứ tăng giá thêm 1 000 đồng thì sẽ bán ít đi 100 cốc mỗi tháng. Biết chi phí nguyên vật liệu để pha một cốc trà sữa không thay đổi là 22 000 đồng. Hỏi cửa hàng phải bán mỗi cốc trà sữa với giá bao nhiêu để đạt lợi nhuận lớn nhất?

Gọi \(x\) (nghìn đồng) là số tiền tăng thêm khi bán ra một cốc trà sữa \(\left( {x \ge 0} \right)\).

Số cốc trà sữa bán được sau khi tăng giá thêm \(x\) (nghìn đồng) là: \(2\,200 - 100x\) (cốc).

Số tiền lãi thu được là:

\(\left( {30 + x - 22} \right)\left( {2\,\,200 - 100x} \right) = \left( {8 + x} \right)\left( {2\,200 - 100x} \right) = - 100{x^2} + 1\,400x + 17600\) (nghìn đồng).

Để lợi nhuận thu được là lớn nhất thì phải tìm được \(x\) sao cho hàm số \(f\left( x \right) = - 100{x^2} + 1400x + 17600\) lớn nhất.

Hàm số này là hàm số bậc hai có \(a = - 100 < 0\) nên nó đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của đồ thị hàm số.

Hoành độ đỉnh của đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = - 100{x^2} + 1400x + 17600\) là \(x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{1400}}{{2.\left( { - 100} \right)}} = 7\) (thỏa mãn \[x \ge 0\]).

Khi đó số tiền phải tăng lên để lợi nhuận lớn nhất là 7 nghìn đồng hay chính là bán ra một cốc trà sữa với giá 30 + 7 = 37 (nghìn đồng).

Vậy cửa hàng phải bán mỗi cốc trà sữa với giá 37 000 đồng để đạt lợi nhuận lớn nhất.