(3,0 điểm) Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) \(\left( {\widehat A < 90^\circ } \right)\). Kẻ \(BD\) vuông góc với \(AC\) tại \(D,\) kẻ \(CE\) vuông góc với \(AB\) tại \(E\).

a) Chứng minh tam giác \(ADE\) cân.

b) Chứng minh \[DE\parallel BC\].

c) Gọi \(I\) là giao điểm của \(BD\) và \(CE\). Chứng minh \(IB = IC\).

d) Chứng minh \(AI \bot BC\).

a) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACE\) có:

\(\widehat {ADB} = \widehat {AEC} = 90^\circ \);

\(\widehat {BAC}\) chung;

\(AB = AC\) (\(\Delta ABC\) cân tại \(A\)).

Do đó \(\Delta ABD = \Delta ACE\) (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra \(AD = AE\) (hai cạnh tương ứng)

Do đó tam giác \(ADE\) cân tại \(A\).

b) \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) nên \(\widehat {ACB} = \frac{{180^\circ - \widehat {BAC}}}{2}\)   \(\left( 1 \right)\)

\(\Delta ADE\) cân tại \(A\) nên \(\widehat {ADE} = \frac{{180^\circ - \widehat {BAC}}}{2}\)   \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\widehat {ADE} = \widehat {ACB}\).

Mà \(\widehat {ADE}\) và \(\widehat {ACB}\) ở vị trí đồng vị.

Do đó \[DE\parallel BC\].

c) Ta có: \(\widehat {ABC} = \widehat {ABI} + \widehat {IBC}\); \(\widehat {ACB} = \widehat {ACI} + \widehat {ICB}\).

Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (\(\Delta ABC\) cân tại \(A\)); \(\widehat {ABI} = \widehat {ACI}\) (vì \[\Delta ABD = \Delta ACE\]).

Nên \[\widehat {IBC} = \widehat {ICB}\] suy ra \(\Delta IBC\) cân tại \(I\).

Do đó \(IB = IC\).

d) Ta có \(AB = AC\) (\(\Delta ABC\) cân tại \(A\)).

Suy ra điểm \(A\) nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \(BC\).

Mặt khác \(I\) nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \(BC\).

Khi đó \(AI\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(BC\).

Do đó \(AI \bot BC\).