(0,5 điểm) Một nền nhà hình chữ nhật có chiều dài 12 m và chiều rộng 5 m. Người ta dự định lát các các viên gạch hình vuông có cạnh 30 cm. Coi các mạch ghép là không đáng kể, người ta cần mua ít nhất bao nhiêu viên gạch biết khi đến cửa hàng bán gạch lát thì cửa hàng nói rằng chỉ bán theo viên?

a) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACD\), có:

\(AB = AC\) (do \(\Delta ABC\) cân tại \(A\));

\(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\) (do \(AD\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\));

\(AD\) là cạnh chung.

Do đó \(\Delta ABD = \Delta ACD\) (c.g.c)

b) Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta ADF\), có:

\[\widehat {AED} = \widehat {AFD} = 90^\circ \];

\(AD\) là cạnh chung;

\(\widehat {EAD} = \widehat {FAD}\) (do \(AD\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\)).

Do đó \(\Delta ADE = \Delta ADF\) (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra \(DE = DF\) (cặp cạnh tương ứng).

c) Ta có \(AE = AF\) (Do \(\Delta ADE = \Delta ADF\))

Suy ra \(\Delta AEF\) cân tại \(A\) nên \[\widehat {AEF} = \widehat {AFE}\].

Mà \(\widehat {EAF} + \widehat {AEF} + \widehat {AFE} = 180^\circ \) (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra \(\widehat {AEF} = \frac{{180^\circ - \widehat {EAF}}}{2} = \frac{{180^\circ - \widehat {BAC}}}{2}\).

Chứng minh tương tự đối với \[\Delta ABC\] cân tại A, ta được \(\widehat {ABC} = \frac{{180^\circ - \widehat {BAC}}}{2}\).

Khi đó \(\widehat {AEF} = \widehat {ABC}\).

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(EF\,{\rm{//}}\,BC\).

Số tiền công nhóm kĩ thuật nhận được ở ngày thứ nhất: 4 triệu đồng.

Số tiền công nhóm kĩ thuật nhận được ở ngày thứ hai: 4 . (1 + 5%) triệu đồng.

Số tiền công nhóm kĩ thuật nhận được ở ngày thứ ba: \(4.{\left( {1 + 5\% } \right)^2}\) triệu đồng.

Số tiền công nhóm kĩ thuật nhận được ở ngày thứ tư: \(4.{\left( {1 + 5\% } \right)^3}\) triệu đồng.

….

Số tiền công nhóm kĩ thuật nhận được ở ngày thứ 24 : \(4.{\left( {1 + 5\% } \right)^{23}}\) triệu đồng.

Tổng tiền công nhóm kĩ thuật nhận được sau 24 ngày là:

\(S = 4 + 4.\left( {1 + 5\% } \right) + 4.{\left( {1 + 5\% } \right)^2} + 4.{\left( {1 + 5\% } \right)^3} + ... + 4.{\left( {1 + 5\% } \right)^{23}}\)

Suy ra

\(\left( {1 + 5\% } \right)S = 4.\left( {1 + 5\% } \right) + 4.{\left( {1 + 5\% } \right)^2} + 4.{\left( {1 + 5\% } \right)^3} + 4.{\left( {1 + 5\% } \right)^4} + ... + 4.{\left( {1 + 5\% } \right)^{24}}\)

Khi đó:\[\left( {1 + 5\% } \right)S = S - 4 + 4.{\left( {1 + 5\% } \right)^{24}}\]

Hay \[\left( {1 + 5\% } \right)S - S = 4.{\left( {1 + 5\% } \right)^{24}} - 4\]

Suy ra \(\frac{1}{{20}}.S = 4.{\left( {\frac{{21}}{{20}}} \right)^{24}} - 4\)

Vậy \(S = 80.{\left( {\frac{{21}}{{20}}} \right)^{24}} - 80\).