Nhà bác Nam có một bức tường với kích thước như trong sơ đồ (trên bức tường có chừa một ô thoáng hình thoi và một cửa đi hình chữ nhật).

a) Tính diện tích cửa đi hình chữ nhật và diện tích cửa thoáng hình thoi.

b) Bác Nam đang tính số tiền để sơn mặt trong của bức tường này. Biết đơn giá sơn bức tường là 30 000 đồng/m2. Theo em, bác Nam phải mất bao nhiêu tiền để sơn được bức tường đó?

Gọi số người của đơn vị đó là \(a\) (người)  \(\left( {a \in \mathbb{N},320 < a < 400} \right)\).

Vì khi xếp hàng 10; 12 hoặc 15 đều thừa ra 5 người nên \(a:10;\,\,a:12;\,\,a:15\) đều dư 5

Suy ra \(\left( {a - 5} \right) \vdots 10;\,\,\left( {a - 5} \right) \vdots 12;\,\,\left( {a - 5} \right) \vdots 15\)

Hay \(a - 5 \in BC\left( {10,12,15} \right)\)

Ta có: \(10 = 2.5;\)       \(12 = {2^2}.3\);        \(15 = 3.5\).

Do đó \(BCNN\left( {10,12,15} \right) = {2^2}.3.5 = 60\)

Suy ra \(a - 5 \in BC\left( {10,12,15} \right) = B\left( {60} \right) = \left\{ {0;60;120;180;240;300;360;420;...} \right\}\)

Khi đó \(a \in \left\{ {5;65;125;185;245;305;365;425;...} \right\}\)

Mà \(320 < a < 400\) nên \(a = 365\).

Vậy đơn vị bộ đội có 365 người.

Với \(x,y\) là số nguyên, từ \(\left( {x + 5} \right)\left( {2y + 1} \right) = 4\), suy ra \(2y + 1\) là ước của 4.

Mà Ư\(\left( 4 \right) = \left\{ {1; - 1;2; - 2;4; - 4} \right\}\).

Do \(y\) là số nguyên nên \(2y + 1\) là số lẻ nên \(2y + 1\) chỉ là ước lẻ của 4.

Khi đó \(2y + 1 \in \left\{ {1; - 1} \right\}\).

Ta có bảng sau:

 Vậy \[\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( { - 1;0} \right);\left( { - 9; - 1} \right)} \right\}\].