Một người dự kiến trang trí tô màu cho một mảng tường hình vuông cạnh bằng 2m. Phần tô màu dự kiến là các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là 1, 2, 3, ..., n, ..., trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó (xem hình vẽ bên). Biết chi phí cho \[1{m^2}\]phần tô màu mất khoảng 1500000 đồng. Tính tổng số tiền mà người đó cần phải bỏ ra để tô màu như dự định.

 

Gọi diện tích hình vuông nhỏ thứ 1, 2, 3, …, n, … là \[{S_1},{S_2},{S_3},...,{S_n},...\]

Theo đề ta có cạnh hình vuông thứ nhất là \[1m.\]      Ta có \[{S_1} = {1^2} = 1\left( {{m^2}} \right)\]

Theo đề ta có độ dài cạnh hình vuông thứ hai là \[\frac{1}{2}m.\]     \[{S_2} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{4} = \frac{1}{4}{S_1}\]

Độ dài cạnh hình vuông thứ ba là \[\frac{1}{4}m.\]      \[{S_3} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} = \frac{1}{{16}} = \frac{1}{4}{S_2}\]

……………………….

Độ dài cạnh hình vuông thứ n là \[\frac{1}{{{2^{n - 1}}}}m.\]     \[{S_n} = \frac{1}{4}{S_{n - 1}}\]…………….

Ta thấy \[{S_1},{S_2},{S_3},...,{S_n},...\] lập thành 1 cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu \[{S_1} = 1\], công bội \[q = \frac{1}{4}.\]

Vậy tổng diện tích tất cả các hình vuông cần tô màu là \[S = \frac{1}{{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{4}{3}\left( {{m^2}} \right)\]

Số tiền cần phải bỏ ra để tô màu là: \[\frac{4}{3}.1500000 = 2000000\](đồng)