Trong các hình sau, hình nào có vô số trục đối xứng?

Gọi số học sinh khối 6 của trường đó là \(x\) (học sinh) \(\left( {x \in \mathbb{N},0 < x < 400} \right)\)

Vì khi xếp hàng 15, 20, 25 đều thiếu 1 người nên \(\left( {x + 1} \right) \vdots 15,\left( {x + 1} \right) \vdots 20,\left( {x + 1} \right) \vdots 25\)

Do đó \(\left( {x + 1} \right) \in BC\left( {15,20,25} \right)\)

Ta có: \(15 = 3.5;\,\,\,\,20 = {2^2}.5;\,\,\,25 = {5^2}\)

Suy ra \(BCNN\left( {15,20,25} \right) = {2^2}{.3.5^2} = 300\)

Khi đó \(\left( {x + 1} \right) \in BC\left( {15,20,25} \right) = B\left( {300} \right) = \left\{ {300;600;...} \right\}\) (do \(x + 1 > 0\))         

Nên \(x \in \left\{ {299;599;...} \right\}\)

Mà \(0 < x < 400\) nên \(x = 299\).

Vậy khối 6 của trường THCS đó có 299 học sinh.

Từ \(6{x^2} + 5{y^2} = 54\), suy ra \(6{x^2} \le 54\) (do \(5{y^2} \ge 0,\) với mọi \(y \in \mathbb{Z}\))

Suy ra \(0 \le {x^2} \le 9\), mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên \({x^2} \in \mathbb{Z}\), do đó \({x^2} \in \left\{ {0;1;4;9} \right\}\)

Mặt khác, \({x^2} + 1 = 55 - 5{x^2} - 5{y^2}\), hiệu này chia hết cho 5

Do đó \(\left( {{x^2} + 1} \right) \vdots 5\), suy ra \({x^2} = 4\) hoặc \({x^2} = 9\)

Với \({x^2} = 4\), ta có \({y^2} = 6\) (loại, vì không thỏa mãn \(y \in \mathbb{Z}\))

Với \({x^2} = 9\), ta có: \({y^2} = 0\) suy ra \(y = 0\)

Khi đó \({x^2} = 9\) suy ra \(x = 3\) hoặc \(x =  - 3\).

Vậy \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {3;0} \right);\left( { - 3;0} \right)} \right\}\).